Gimimo data pagal Pasvalio parapijos metrikų įrašą – 1869 m. spalio 31 d.

Tėvai: Andrejus Velžys ir Elžbieta Šalučkaitė-Velžienė – valstiečiai žemdirbiai.

1882–1887 m. baigė Panevėžio realinę mokyklą, 1887–1891 m. studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje.

1892 m. rugpjūčio 30 d. V. Velžys buvo įšventintas kunigu.

1892–1897 m. jis tarnavo vikaru Teneniuose (Šilalės r.).

1897–1901 m. V. Velžys buvo Svėdasų (Anykščių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos vikaras, talkino klebonams Jurgiui Narmontui ir Antanui Lenkevičiui, kol 1901 m. spalį buvo iškeltas.

1901–1909 m. jis buvo Elernos (dabar – Baltarusija) Kristaus Žengimo į dangų parapijos administratorius, 1909–1921 m. – Kamajų (Rokiškio r.) Šv. Kazimiero parapijos administratorius. 1921–1924 m. V. Velžys buvo Dusetų (Zarasų r.) Švč. Trejybės parapijos klebonas, kartu 1921–1924 m. ėjo ir Zarasų dekanato dekano pareigas.

Paskirtas 1924 m. gegužę, 1924–1933 m. jis tarnavo Karsakiškio (Panevėžio r.) Nukryžiuotojo Jėzaus bažnyčios kuratu, buvo kunigas filialistas. Jo rūpesčiu naujai, bet dar nebaigtai įrengti Karsakiškio bažnyčiai buvo nupirkti varpai, įsigyta naujų liturginių rūbų, indų, pastatyta suolų. 1928 m. jis buvo paskirtas Katalikų veikimo centro Panevėžio rajono Karsakiškio skyriaus dvasios vadu.

1934 m. sausio 1 d. V. Velžys iš šių pareigų buvo atleistas ir jam leista persikelti į gimtąją Pasvalio parapiją, ten įkurti altariją ir joje apsigyventi.

Mirė 1934 m. spalio 16 d. Pasvalyje, važiuodamas pas ligonį. Palaidotas Pasvalio bažnyčios šventoriuje šalia kitų kunigų. Geležine tvorele aptvertą kapą ženklina juodas akmeninis paminklas-kryžius su ovalia portretine nuotrauka ir įrašu: "A+A / Kunigas / Vincentas / Velžys / Pasvalio altarijos / įsteigėjas / 1869.X.28 – 1934.X.16. / Requiescat in pace!", paminklas apie 2013 m. restauruotas.