Tėvai: Jonas Stasiukonis (1925–2012) – agronomas, žemės ūkio veiklos organizatorius, ir Nijolė Rimavičiūtė-Stasiukonienė (g. 1936 m.) iš Žaliosios – buhalterė. Sesuo Rita Stasiukonytė-Žemaitienė (g. 1958 m.) – prekybininkė.

Tėvams persikėlus, nuo 1959 m. augo Nausodėje (Anykščių r.). 1962–1966 m. mokėsi Kirmėlių (Anykščių r.) pradinėje mokykloje, 1973 m. baigė Anykščių Jono Biliūno vidurinę mokyklą. Mokykliniais metais jis baigė ir Anykščių vaikų muzikos mokyklos akordeono klasę pas mokytoją Danutę Mariją Genienę, 1971–1974 m. grojo būgnais mokyklos ansamblyje "Atostogos".

1973–1978 m. jis studijavo Vilniaus inžineriniame statybos institute statybos inžineriją, įgijo inžinieriaus statybininko išsilavinimą.

1978–2003 m. D. Stasiukonis gyveno ir dirbo Vilniuje. 1978–1999 m. jis buvo Vilniaus namų statybos kombinato meistras, inžinierius, iki 1999 m. dirbo šio kombinato generaliniu direktoriumi, kol įmonė buvo likviduota. Jo vadovaujamas Vilniaus namų statybos kombinatas ir jo padaliniai statė sostinės Viršuliškių, Šeškinės, Justiniškių, Baltupių, Fabijoniškių ir Pilaitės gyvenamuosius mikrorajonus.

1999–2003 m. jis buvo privačios statybos įmonės akcininkas ir vadovas, statė karines bazes Lydoje (Baltarusija).

2003–2017 m. D. Stasiukonis buvo valstybės įmonės "Utenos regiono keliai" Anykščių kelių tarnybos viršininkas. Po šios įmonės pertvarkymo 2017–2018 m. jis buvo valstybės įmonės "Kelių priežiūra" Utenos padalinio Anykščių kelių tarnybos vadovas. Jis vadovavo kelių eksploatavimo įmonei, kurioje dirbo 50–60 žmonių, įmonė prižiūrėjo 560 kilometrų Anykščių rajono kelių.

Laisvalaikiu keliauja, prižiūri sodybas, domisi statybų naujovėmis.

Susituokė 1975 m. gruodžio 31 d., žmona Danutė Stasiukonienė – prekybos ekonomistė. Vaikai: Jurgita Stasiukonytė (g. 1976 m.) – teisininkė, emigrantė JAV, ir Dainius Stasiukonis (g. 1981 m.) – inžinierius kelininkas, valstybės tarnautojas.