Tėvai: Kazimieras Tuskenis ir Sofija Braknytė-Tuskenienė. Augo vienas vaikas šeimoje. Dėdė (tėvo brolis) Domininkas Tuskenis (1872–1947) – kunigas, švietėjas.

1909–1918 m. mokėsi Vilkaviškio gimnazijoje, Pirmojo pasaulinio karo metais ją baigė Voroneže (Rusija).

1918 m. L. Tuskenis grįžo į Lietuvą, įstojo į Lietuvos kariuomenę, baigė Karo mokyklą Kaune ir dalyvavo laisvės kovose.

1923–1930 m. jis studijavo Vytauto Didžiojo universiteto Technikos fakultete Kaune ir įgijo statybos inžinieriaus išsilavinimą. Studijuodamas jis dirbo Susisiekimo ministerijos Plentų ir vandens kelių valdyboje raštininku, braižytoju, techniku.

1930–1934 m. L. Tuskenis dirbo Plentų ir vandens kelių valdyboje sauskelių vyresniuoju inžinieriumi, 1934–1935 m. buvo šios valdybos sauskelių direktorius.

Paskirtas 1935 m. kovo 18 d., 1935–1936 m. L. Tuskenis buvo Plentų ir vandens kelių valdybos direktorius, po įstaigos pertvarkymo 1936–1944 m. – Kelių valdybos vyriausiasis kelių direktorius, kol 1944 m. liepos 25 d., įkūrus Plentų valdybą, iš šių pareigų buvo atleistas.

Jis labai daug prisidėjo prie Lietuvos kelių ir susisiekimo gerinimo: inicijavo plentų tinklo reviziją Lietuvoje, organizavo Žemaičių plento statybą (pastatytas 1934–1938 m. 199,5 km), 1937 m. inicijavo Aukštaičių plento tiesimą nuo Kauno Biržų link, Kauno–Vilniaus plento tiesimą, kelių fondo kūrimą, didžiųjų tiltų statybą Alytuje, Prienuose, Kaune ir kituose Lietuvos miestuose. Jis buvo Lietuvos energijos komiteto Kelių statybos medžiagoms tirti komisijos pirmininkas.

L. Tuskenis pirmasis 1938 m. pasirašė Žemaičių plento tiesimo darbų pabaigos  aktą.

Jo iniciatyva buvo pastatytas betoninis tiltas per Šventąją ties Kunigiškiais, sutrumpinęs kelią iš Svėdasų krašto į Vyžuonas (Utenos r.).

L. Tuskenis rūpinosi Pabaltijo sauskelių inžinierių konferencijomis, pats skaitydavo referatus. 1938 m. kovo 25–28 d. jis buvo Lietuvos delegacijos pirmininkas derybose su lenkais Augustave (Lenkija).

Jis aktyviai dalyvavo visuomeninėje veikloje, buvo vienas iš pirmųjų korporacijos "Neo-Lithuania" steigėjų, Tautininkų sąjungos narys, Lietuvos taisyklingos medžioklės ir žūklės draugijos ir kitų organizacijų narys.

L. Tuskenis bendradarbiavo leidinyje "Technika ir ūkis" bei kituose. Jis išleido knygą "Lietuvos plentai ir moderniškosios konstrukcijos" (pirmoji dalis, 1931 m.), buvo vienas iš kolektyvinio leidinio "Žemaičių plentas. 1934–1939" (1939 m., kitas  faksimilinis leidimas – 2004 m.) autorių.

1944 m. L. Tuskenis pasitraukė į Vakarus, įsikūrė ir dirbo Oldenburgo (Žemutinė Saksonija, Vokietija) firmoje "Canadian Works Section R.C.E. ir C.A.O.F." architektu, buvo lietuvių atstovas prie britų karinės valdžios Žemutinėje Saksonijoje.

1948 m. jis emigravo į Australiją ir nuo 1949 m. rudens iki gyvenimo pabaigos dirbo Melburno (Melbourne, Viktorijos valstija) "Works and Housing" departamente inžinieriumi.

Nepriklausomoje Lietuvoje L. Tuskenis buvo apdovanotas Baltosios žvaigždės 3-ojo laipsnio ordinu (1938 m.).

Buvo vedęs. Užaugino dukterį.

Mirė 1950  m. birželio 6 d. Melburne (Melbourne, Australija). Palaidotas Čeltnamo (Cheltenham) naujosiose kapinėse (Viktorijos valstija, Australija). Kapą ženklina paminklas, jo balto marmuro plokštėje iškaltas lietuviškas įrašas su rašybos klaidomis: "A+A / Leonas Tuskenis / gimė 1899.IV.11, mirė 1950.VI.6 / Nuliūdiusia žmona ir duktė / Skirtis yra mūsų likimas / Pasimatymas mūsų viltis."

L. Tuskenio gyvenimas ir veikla pristatoma tęstinio leidinio "Lietuvos  energetika" 6-ajame tome "Lietuvos energetika iki 1944 metų" (2017 m.).