Tėvai: Mataušas Tamošiūnas (1851–1915) iš Sedeikių ir Ona Kazlauskaitė-Tamošiūnienė (1859 – po 1915) iš Pajuodupio – valstiečiai žemdirbiai. Broliai ir seserys: Juozapas Tamošiūnas (1881 – iki 1915), Jonas Tamošiūnas (1882 – po 1915), Ona Tamošiūnaitė (1885 – po 1915), Elžbieta Tamošiūnaitė (1888 – iki 1915), Antanas Tamošiūnas (1890 – po 1915), Veronika Tamošiūnaitė (1893 – iki 1915), Mataušas Tamošiūnas (1894 – po 1915), Povilas Tamošiūnas (1900 – po 1915) ir Rozalija Tamošiūnaitė-Žeimienė (1902 – po 1924).

Baigė pradžios mokyklą, jaunystė išmoko rašyti ir skaityti rusiškai.

1919 m. rugpjūčio 5 d. P. Tamošiūnas įstojo į Lietuvos kariuomenę, rugsėjo 3 d. atvyko į tarnybos vietą 3-ajame artilerijos pulke, kur tapo 6-osios baterijos eiliniu-kurpiumi.

Nuo 1919 m. gruodžio 8 d. iki 1920 m. sausio 5 d. jis dalyvavo kovose su bolševikais, o 1920 m. birželio 21 d. buvo paleistas į atsargą.

1920 m. rugsėjo 7 d. P. Tamošiūnas vėl buvo pašauktas į tarnybą Lietuvos kariuomenėje, tarnavo 3-ajame artilerijos pulke. Nuo 1920 m. rugsėjo 9 d. iki gruodžio 1 d. jis dalyvavo mūšiuose prieš lenkus. Būdamas pirmosios artilerijos brigados 6-osios baterijos žvalgas, jis pasižymėjo fronte: 1920 m. lapkričio 17 d. ties Paširvinčiais (Širvintų r.) jis su kovos bendražygiais atliko sėkmingą žvalgybą ir laiku įspėjo bateriją apie gręsiantį pavojų, padėdamas pakeisti pozicijas ir išvengti aukų.

Už narsą kovos lauke 1921 m. sausį P. Tamošiūnas buvo apdovanotas 1-ojo laipsnio Vyties Kryžiumi (pažymėjimo Nr. 1055).

Nuo 1921 m. gruodžio 1 d. jis buvo grandinis. 1922 m. balandžio 6 d. pulko vado įsakymu iš tarnybos jis buvo paleistas neribotų atostogų, tačiau šis atleidimas buvo anuliuotas – kareivis nebuvo ištarnavęs dvejų metų. Tik 1922 m. spalio 1 d. jis galutinai baigė karinę tarnybą.

Jis įsikūrė Jurgelionių kaime (Ukmergės r.) ir dešimtmetį ten gyveno.

1933 m. P. Tamošiūnas emigravo į Braziliją ir ten praleido likusį gyvenimą. San Paule jis turėjo batų dirbtuvę ir vertėsi batsiuvio amatu.

Buvo vedęs, žmona ? Pūkaitė-Tamošiūnienė. Užaugino dukterį Birutę.

Mirė 1956 m. San Paule (Brazilija). Palaidotas vietinėse kapinėse.

Vyties Kryžiaus kavalieriaus P. Tamošiūno gyvenimas ir veikla įamžinti Viliaus Kavaliausko enciklopediniame žinyne "Lietuvos karžygiai : Vyties Kryžiaus kavalieriai (1918–1940)" 6-ajame tome (2014 m.).