Tėvai: Mykolas Kiaušas (1868–1932) iš Elmininkų ir Ona Gutauskaitė-Kiaušienė (? – po 1932) – valstiečiai žemdirbiai. Broliai ir seserys: Antanas Kiaušas (1899–1909) – mirė vaikystėje, Jonas Kiaušas (1901–1922) – mirė jaunystėje, Anelė Kiaušaitė (1905–1915) – mirė vaikystėje, Kazimieras Kiaušas (1907–1910) – mirė vaikystėje, Ona Kiaušaitė (1910 – po 1932), Teklė Kiaušaitė (1912 – po 1932), Petras Kiaušas (1917–1917) – mirė kūdikystėje, Veronika Kiaušaitė (apie 1918 – po 1932), Rozalija Kiaušaitė (1920 – po 1932) ir Vladislovas Kiaušas (apie 1922 – po 1932).

1903 m. liepos 26 d. Anykščių bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Juozas Bublys, krikštatėviai buvo Martynas Strazdas ir Anelė Šakėnienė, Juozapo Šakėno žmona.

Augo gausioje šeimoje, kurioje gimė 11 vaikų, o užaugo šeši. Vyresniems vaikams anksti mirus, liko ir užaugo vyriausias vaikas šeimoje.

1919–1924 m. mokėsi Utenos "Saulės" gimnazijoje, baigė penkias klases. 1924–1927 m. baigė Kauno "Aušros" berniukų gimnaziją. 1927–1935 m. studijavo Vytauto Didžiojo universiteto Medicinos fakultete, įgijo gydytojo išsilavinimą. Studijų metais jam didelės įtakos turėjo dėstytojai profesoriai Petras Avižonis, Vincas Čepinskis, Vladas Lašas, Vladas Kuzma, suteikę ne tik profesinių žinių, bet ir ugdę bendražmogiškąsias vertybes. Jaunystėje, lankydamasis Anykščiuose, jis bendraudavo su rašytoju ir vaistininku Antanu Žukausku-Vienuoliu.

Nuo 1935 m. iki gyvenimo pabaigos J. Kiaušas gyveno ir dirbo Pasvalyje.

Paskirtas 1935 m. rugpjūčio 2 d., 1935–1944 m. jis dirbo Pasvalio ambulatorijos vedėju, buvo visų sričių specialistas: ir chirurgas, ir akušeris, ir vaikų ligų, ir infekcinių ligų specialistas.

1941 m. vasarą, žydų holokausto laikotarpiu, J. Kiaušas laikinai paslėpė Joniškėlio gydytojo Lichtenšteino šeimą, išsaugodamas jų gyvybes.

Plečiant gydymo įstaigų tinklą Pasvalyje, 1944–1948 m. J. Kiaušas buvo Pasvalio gimdymo namų vedėjas, 1948–1954 m. – Pasvalio rajono ligoninės vyriausiasis gydytojas. Jis buvo pirmasis šios įstaigos vadovas, 1950 m. suformavęs pirmąją Pasvalio ligoninės struktūrą iš trijų skyrių: vidaus ligų, gimdymo ir vaikų ligų.

1954–1978 m. J. Kiaušas dirbo Pasvalio rajono ligoninės Vidaus ligų skyriuje gydytoju terapeutu, kol išėjo į pensiją.

Jis dalyvavo visuomeninėje viekloje, buvo renkamas Pasvalio miesto darbo žmonių deputatų tarybos deputatu.

Sovietmečiu J. Kiaušas buvo apdovanotas ordinais ir medaliais, buvo įrašytas į Pasvalio rajono Garbės knygą.

Už ilgametį ir nepriekaištingą darbą, gydant miesto ir rajono žmones, jam vienam pirmųjų Nepriklausomoje Lietuvoje buvo suteiktas Pasvalio miesto Garbės piliečio vardas (1991 m.).

Laisvalaikiu kaupė asmeninę biblioteką, gydytojo įrankių kolekciją.

Vedė 1938 m., žmona Stanislava Griniūtė-Kiaušienė – tarnautoja. Vaikai: Nijolė Zita Kiaušaitė – vaistininkė provizorė, Marija Kiaušaitė-? – akių ligų gydytoja, Vytautas Kiaušas – inžinierius ir Ona Kiaušaitė-? – muzikė.

Mirė 1993 m. kovo 13 d. Pasvalyje. Palaidotas Pasvalio kapinėse.

Ant senojo Pasvalio ligoninės pastato (Joniškėlio g. 1, dabar – Pasvalio socialinių paslaugų centras) sienos įrengta J. Kiaušo atminimo lenta (autoriai – skulptoriai Olesius Sidorukas ir Borisas Krylovas, mecenatai dr. Pranas Kiznis  ir Vyčio paramos fondas, 2022 m.).