Tėvai: Ignotas Staniūnas (1859–1934) – valstietis žemdirbys ir Rozalija Avižaitė-Staniūnienė (1874–1943) – žemdirbė, 1941–1943 m. tremtinė, mirusi tremtyje. Buvo jauniausias vaikas šeimoje. Broliai: Tadas Staniūnas (1899–1976) – žemdirbys, 1941 m. politinis kalinys, Povilas Staniūnas (1902–1968) – žemdirbys ir Jonas Staniūnas (1904–1910) – mirė vaikystėje.

1906 m. gruodžio 10 d. Kavarsko bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Antanas Keraitis, krikštatėviais buvo sutuoktiniai Motiejus ir Konstancija Maskoliūnai.

1925 m. baigė keturias klases Telšių progimnazijoje. 1925–1927 m. baigė Ukmergės dvimečius mokytojų kursus, įgijo pradžios mokyklos mokytojo specialybę.

1927 m. lapkričio 6 d. D. Staniūnas buvo pašauktas į Lietuvos kariuomenę ir paskirtas tarnauti į 5-ąjį pėstininkų Lietuvos Didžiojo kunigaikščio Kęstučio pulką. 1928 m. vasario 19 d. jis buvo pasiųstas mokytis į Karo mokyklą Kaune, ją baigė 1929 m. vasario 19 d. III aspirantų laidoje, gavo pėstininkų atsargos leitenanto karinį laipsnį ir buvo paleistas į pėstininkų karininkų atsargą.

1929–1934 m. D. Staniūnas dirbo Niciūnų (Semeliškės, Elektrėnų sav.) pradžios mokyklos vedėju.

1931 m. pakeitus Lietuvos kariuomenės karininkų laipsnius, jis buvo atsargos jaunesnysis leitenantas, nuo 1939 m. rugsėjo 8 d. pakeltas į atsargos leitenantus.

1934–1941 m. D. Staniūnas dirbo Onuškio (Trakų r.) pradžios mokyklos vedėju, vadovavo iki penkių komplektų išaugusiai mokyklai. Šioje mokykloje jis įvedė dalykinį mokymą, pats pradėjo mokyti visus mokinius matematikos.

1937–1940 m. jo rūpesčiu buvo pastatytas naujas Onuškio mokyklos pastatas su sporto sale. Mokykloje jis subūrė vaidintojų būrelį ir nuo 1938 m. organizavo spektaklius, pajamas skirdavo labdarai. 1935–1938 m. jis organizavo Onuškio apylinkių vandenvardžių rinkimą.

1937 m. kovo 15 d. įsteigus Onuškio viešąją biblioteką, nuo gegužės 22 d. D. Staniūnas kartu ėjo ir bibliotekos vedėjo pareigas, buvo pirmasis miestelio bibliotekos vadovas.

Nepriklausomoje Lietuvoje jis buvo tautininkas, šaulys, Lietuvos šaulių sąjungos Onuškio šaulių būrio, nuo 1936 m. balandžio – Onuškio šaulių kuopos vadas. 1938 m. rugsėjį susikūrus Šv. Vincento Pauliečio draugijos Onuškio skyriui, jis buvo išrinktas šio skyriaus pirmininko pavaduuotoju, rūpinosi vaikų darželio atidarymu Onuškyje. Jis buvo ir Lietuvių tautinės jaunuomenės sąjungos "Jaunoji Lietuva" Onuškio skyriaus vadas, Vilniui vaduoti sąjungos narys, Jono Basanavičiaus vardo sąjungos narys.

Pirmosios sovietinės okupacijos laikotarpiu 1940–1941 m. D. Staniūnas, bolševikinės valdžios spaudžiamas, organizavo suaugusiųjų mokymą Onuškyje, buvo priverstas organizuoti ir politinio švietimo užsiėmimus bei politinio lavinimo kursus.

1941 m. birželio 14 d. D. Staniūnas su šeima (žmona, dukterimis ir į svečius atvykusia motina) buvo ištremtas į Sibirą, 1941–1942 m. gyveno Turočiake (Altajaus kraštas, Rusija). Nuplukdytas Lenos upe į šiaurę, 1942–1948 m. jis su šeima gyveno Tit Aruose (Bulūno r., Jakutija, Rusija), 1948–1958 m. – Oliokminske (Jakutija, Rusija). Tremtyje jis dirbo miško ruošos darbus, buvo prieplaukos darbininku, žveju, ekonomistu.

1956 m. paleistas iš tremties, 1958 m. D. Staniūnas su šeima grįžo į Lietuvą. 1965 m. Lietuvos SSR prokuratūros visa jo šeima buvo reabilituota kaip be pagrindo ištremta.

Nepriklausomoje Lietuvoje jis buvo apdovanotas Vytauto Didžiojo ordino 3-ojo laipsnio medaliu (1938 m.), Lietuvos nepriklausomybės medaliu (1928 m.), Šaulių žvaigždės ordinu (1940 m.).

Vedė 1930 m., žmona Karolina Šolomskaitė-Staniūnienė (1910 – po 1989) iš Užuguosčio (Prienų r.) – bibliotekininkė, 1941–1958 m. tremtinė. Dukterys: Irena Regina Staniūnaitė-Andrikienė (g. 1932 m.) – 1941–1958 m. tremtinė, pedagogė matematikos mokytoja, ir Danutė Staniūnaitė-Petrauskienė (g. 1936 m.) – 1941–1958 m. tremtinė, pedagogė matematikos mokytoja, sportininkė šaulė.

Mirė 1967 m. Palaidotas Lentvario (Trakų r.) kapinėse. Kapą ženklina juodo šlifuoto akmens paminklinė stela su iškaltu įrašuu: "Donatas Staniūnas / 1906–1967".

D. Staniūno biografija pateikta enciklopedinio žinyno "Lietuvos kariuomenės karininkai : 1918–1953" 7-ajame tome (2007 m.), jo veikla ir likimas pristatoma "Lietuvos valsčių" serijos monografijoje "Onuškis" (2017 m.).