Tėvai: Jurgis Baleišis ir Ona Skemundrytė-Baleišienė – žemdirbiai pasiturintys ūkininkai.

Pirmojo pasaulinio karo metais šeimai pasitraukus į Rusiją, augo ir mokėsi Sankt Peterburge. 1918 m. grįžo į Lietuvą.

1922 m. mobilizuotas į Lietuvos kariuomenę, A. Baleišis buvo pasiųstas į Karo mokyklą Kaune, ją baigė 1923 m. spalio 24 d. 5-ojoje laidoje, gavo leitenanto karinį laipsnį.

Paskirtas 1923 m. spalio pabaigoje, porą mėnesių jis tarnavo 3-ajame pėstininkų pulke. Perkeltas 1923 m. gruodžio 31 d., 1923–1926 m. jis tarnavo 2-ajame pėstininkų pulke karininku.

Nuo 1926 m. sausio 6 d. A. Baleišis tęsė karo tarnybą Aukštuosiuose karininkų kursuose kaip adjutantas. 1927 m. kovo 5 d. jis perkeltas į Kariuomenės štabo 2-ąjį skyrių, nuo 1928 m. vasario 22 d. buvo vyresnysis leitenantas. 1928 m. liepos 5 d. jis buvo perkeltas tęsti tarnybą į 8-ąjį pėstininkų pulką.

Nuo 1929 m. gegužės 29 d. iki 1940 m. A. Baleišis tarnavo 4-ajame pėstininkų Lietuvos Karaliaus Mindaugo pulke, buvo kapitonas (nuo 1937 m.), ryšių kuopos vadas. 1933 m. jis baigė Vytauto Didžiojo karininkų kursų Ryšių skyrių 2-ojoje laidoje.

Pirmosios sovietinės okupacijos pradžioje likviduojant Lietuvos kariuomenę, 1940 m. rugsėjo 24 d. A. Baleišis buvo paskirtas Raudonosios armijos 29-ojo šaulių teritorinio korpuso 194-osios šaulių divizijos 262-ojo šaulių pulko ryšių kuopos vadu.

1941 m. birželį vokiečių okupaciją A. Baleišis pasitiko tarnybos vietoje Varėnos poligone. Atsisakęs tęsti tarnybą Raudonojoje armijoje, jis pasiliko Lietuvoje ir atvedė visą ryšių kuopą į Vilnių. 1941 m. liepos 12 d. jis buvo paskirtas į 2-ąjį apsaugos pulką, bet jau liepos 25 d. buvo paleistas neribotų atostogų ir iš karo tarnybos pasitraukė.

1941–1944 m. A. Baleišis gyveno Panevėžyje ir dirbo miesto savivaldybėje.

1944 m. jis pasitraukė į Vakarus, 1944–1948 m. gyveno Vokietijoje, nuo 1948 m. rudenį emigravo į JAV ir apsigyveno Čikagoje (Ilinojaus valstija), kur liko iki gyvenimo pabaigos.

A. Baleišis dalyvavo JAV lietuvių bendruomenės veikloje, buvo Lietuvių karo veteranų sąjungos "Ramovė" Čikagos skyriaus narys, šio skyriaus Kontrolės komisijos narys, Baltijos-Amerikos lietuvių fondo narys, Namų savininkų draugijos narys.

Nepriklausomoje Lietuvoje jis buvo apdovanotas Lietuvos nepriklausomybės medaliu (1928 m.), Klaipėdos išvadavimo bronziniu ženklu.

Buvo vedęs, žmona Antanina Ėringytė-Baleišienė (1913–1997). Duktė Alė Baleišytė.

Mirė 1972 m. sausio 17 d. Čikagoje (Ilinojaus valstija, JAV). Palaidotas Čikagos lietuvių Šv. Kazimiero kapinėse.

A. Baleišio gyvenimas ir veikla pristatoma informacinio leidinio "Lietuvos kariuomenės karininkai 1918–1953" 2-ajame tome (2002 m.).