Tėvai: Karolis Bilinskas ir Veronika Jakeliūnaitė-Bilinskienė – žemdirbiai. Brolis Vladas Bilinskas (g. 1953 m.).

Iki 1992 m. R. Bilinskas dirbo Anykščių rajono "Aukštakalnio" kolūkyje (Smėlynė) vyriausiuoju inžinieriumi-statybininku, kol šis ūkis iširo.

1992–2002 m. R. Bilinskas buvo Anykščių priešgaisrinės gelbėjimo tarnybos Kavarsko priešgaisrinės dalies viršininkas.

2002–2016 m. jis dirbo Anykščių rajono ugniagesių tarnybos viršininku, buvo pirmasis šios naujos savivaldybės įmonės vadovas, kol išėjo į pensiją.

1996–2005 m. jis taip pat dirbo Anykščių rajono žemės ūkio bendrovėje "Tartokas" (medienos apdirbimas) vyriausiuoju inžinieriumi, kol ši įmonė buvo likviduota.

1990–1995 m. R. Bilinskas buvo išrinktas Anykščių rajono tarybos nariu.

Nuo 1993 m. jis buvo Lietuvos socialdemokratų partijos Anykščių rajono skyriaus narys.

1995–1997 ir 1997–2000 m. šios partijos sąraše R. Bilinskas buvo išrinktas Anykščių rajono savivaldybės tarybos nariu.

Vedęs, žmona Laima Kurklietytė-Bilinskienė (g. 1951 m.). Vaikai: Jurgita Bilinskaitė-Krasauskienė (g. 1976 m.) ir Irmantas Bilinskas (g. 1980 m.) – inžinierius statybininkas.