Asmens dokumentuose buvo nurodoma klaidinga gimimo data – 1911 m. lapkričio 7 d.

Tėvai: Valentinas Albavičius ir Viktorija Albavičienė – žemdirbiai ūkininkai. Augo gausioje šeimoje, kurioje gimė 12 vaikų, bet užaugo tik devyni.

Vaikystėje augo su motina, kol tėvas buvo išvykęs į JAV užsidirbti. Jam grįžus, šeima nusipirko 22 ha žemės ir įsikūrė Janaukos kaime (dab. Jonų k., Kalvarijos sav.).

Mokėsi Kalvarijos pradžios mokykloje, baigė Marijampolės Marijonų gimnaziją. Baigė Kauno tarpdiecezinę kunigų seminariją.

1940 m. gruodžio 22 d. jis buvo įšventintas kunigu.

Paskirtas 1941 m. pradžioje, 1941–1950 m. jis buvo Radviliškio parapijos vikaras ir tikybos mokytojas aplinkinėse mokyklose.

1947 m. jis padėjo įsidarbinti nuošaliame durpyne ir taip pragyventi iš lagerio pabėgusiam kariškiui, 1941 m. Birželio sukilimo Kavarske organizatoriui Stanislovui Griganavičiui.

1950 m. birželio 20 d. sovietiniams pareigūnams Radviliškio klebonijoje padarius kratą ir pas jį radus nuotraukų su partizanais, J. Albavičius buvo suimtas, kalintas Vilniuje. 1950 m. spalio 11 d. Ypatingasis pasitarimas nuteisė jį dešimčiai metų kalėti lageryje.

Išvežtas 1950 m. gruodžio 10 d., 1950–1956 m. jis buvo kalintas Unžlago lageryje Gorkio srityje (dabar – Žemutinio Naugardo sritis, Rusija), kol 1956 m. gegužės 28 d. buvo paleistas į laisvę silpnos sveikatos, žaizdotomis kojomis.

1956 m. vasarą grįžęs į Lietuvą, 1956–1960 m. J. Albavičius buvo Kavarsko (Anykščių r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos altarista vikaras, talkino pastoracijoje klebonui Valerijonui Kekiui.

1960–1970 m. jis trumpai tarnaudavo altarista vikaru arba rezidavo kaip altarista Tytuvėnuose (Kelmės r.), Žalpiuose (Kelmės r.), Šaravuose (Kėdainių r.), Alytuje ir Surviliškyje (Kėdainių r.).

Nuo 1970 m. lapkričio 5 d. iki gyvenimo pabaigos J. Albavičius buvo Taujėnų (Ukmergės r.) parapijos altarista, talkino pastoracijoje klebonui Jonui Voveriui. Senatvėje visiškai apakęs, jis buvo slaugomas Taujėnuose.

Dvasininkas pasižymėjo tvirta pilietine pozicija, kurią pareikšdavo, nepaisydamas sunkumų ar grėsmės. Kalinamas lageryje, buvo buvo atsisakęs dirbti per Šv. Kalėdas, todėl šventes praleido izoliatoriuje. Vėliau jis pasirašė kelis kolektyvinius kunigų protesto raštus, adresuotus sovietinėms instancijoms, prieš religijos laisvės suvaržymus.

Mirė 1995 m. sausio 10 d. Taujėnuose (Ukmergės r.). Palaidotas Taujėnų bažnyčios šventoriuje šalia kitų kunigų. Kapą ženklina juodo akmens paminklas-kryžius su įrašais: "A.+A. / Kun. / Jonas / Albavičius / 1911–1995 / Viešpatie, Tavyje turiu / viltį / Ps. 90,2".