Baigė kunigų seminariją, apie 1840 m. buvo įšventintas kunigu.

1852 ir 1853 m. E. Montvila minimas kaip Renavo (Mažeikių r.) Šv. Izidoriaus bažnyčios kuratas, Sedos parapijos kunigas filialistas.

1864–1875 m. E. Montvila buvo Batakių (Tauragės r.) Šv. Onos Marijos Motinos parapijos klebonas. Jo rūpesčiu prie bažnyčios 1865 m. buvo atidaryta pradžios mokykla, o šventorius apjuostas mūro tvora.

Paskirtas 1864 m. gegužę, 1864–1873 m. jis buvo ir Batakių dekanas, kol 1873 m. lapkritį iš šių pareigų buvo atleistas.

Batakiuose E. Montvila išgarsėjo ir kaip carinės Rusijos valdininkų šnipas. Kaip liudija dokumentai, 1869 m. gegužę jis nuvyko pas Raseinių apskrities karo viršininką Nikolajų Kunickį ir įteikė jam vyskupo Motiejaus Valančiaus politines brošiūras "Parspiejimas" ir "Iš tamsybes ved tiktaij kelis teysybes". E. Montvila pareiškė, kad šių brošiūrų autoriumi jis laiko M. Valančių, nes gerai pažįsta jo rašymo stilių. Be to, jis pranešė, kad Tauragėje matęsis su Tilžės klebonu Jonu Zabermanu, iš kurio sužinojęs, kad šis su M. Valančiumi palaiko glaudžius ryšius.

Už nepalankų požiūrį į aukštesniosios dvasininkijos švietėjišką veiklą E. Montvila vyskupijos iniciatyva buvo pažemintas ir 1875–1880 m. tarnavo Svėdasų (Anykščių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijoje vikaru, talkino klebonams Juozapui Bieliauskui ir Jurgiui Zaleckiui.

Perkeltas 1880 m. liepą, 1880–1896 m. iki gyvenimo pabaigos E. Montvila buvo Mosėdžio (Skuodo r.) altarista.

Mirė 1896 m. birželio 10 d. Mosėdyje (Skuodo r.). Palaidotas Mosėdžio kapinėse. Kapą ženklina balto marmuro paminklas-kryželis (nudaužtas) su įrašu: "Kun. / Eligisaus Montwel. / Myry 1896 m. 10 d. Byr. Par. 80 m. / Prasz. sok. / 3 swe. Mar.".