Mokėsi Svėdasuose, Panevėžyje, 1946 m. baigė Anykščių gimnaziją 3-ojoje jos abiturientų laidoje. 1946–1951 m. baigė Vilniaus universiteto Istorijos-filologijos fakultetą, kur studijavo lietuvių kalbą ir literatūrą. Nuo 1951 m. toliau studijavo Lietuvos Mokslų akademijos Lietuvių kalbos ir literatūros instituto aspirantūroje, 1955 m. baigė Muzikos mokyklą.

S. Baliūnas dirbo savaitraštyje "Literatūra ir menas". Jis paskelbė straipsnių apie muzikus Kiprą Petrauską, Juozą Babravičių, Juozą Indrą (1968–1970 m.), Beatričę Grincevičiūtę, Eleną Čiudakovą (1971 m.), Eleną Saulevičiūtę, Virgilijų Noreiką ir kitus.

Vėliau jis ilgą laiką dirbo Lietuvos radijo muzikos ir meno laidų redaktoriumi, 1968 m. buvo vienas iš estradinės dainos festivalio "Vilniaus bokštai" iniciatorių.

S. Baliūnas redagavo straipsnių rinkinį "Lietuvos TSR teatrų ir meninių kolektyvų artistai" (1977 m.).

Laisvalaikiu sportuodavo – nuo 1951 m. žaidė tenisą, jo pirmasis treneris buvo Juozas Purelis (1901–1989). S. Baliūnas buvo laikomas vienu iš vyriausių amžiumi šalies tenisininkų. Jis vienas ar poroje su sūnumi Dainiumi yra dalyvavęs veteranų turnyruose.

S. Baliūno straipsnis apie tenisą paskelbtas autorių kolektyvo knygoje "Senjorų tenisas Lietuvoje" (2007 m.).

Buvo vedęs, žmona Janina Baliūnienė (1930–2015). Liko našlys. Sūnus Dainius Baliūnas (g. 1969 m.) – biologas ir ekonomistas, verslininkas.

Mirė 2017 m. sausio 9 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Liepynės kapinėse (13A sektorius, 15 eilė, 12 kapavietė). Kapą ženklina rusvo šlifuoto akmens paminklinė kompozicija su iškalta teniso rakete ir įrašu auksuotomis raidėmis: "Janina Baliūnienė / 1930–2015 / Stasys Baliūnas / 1927–2017 / Tavo žydrų bangų glėbyje / glaudžia ir supa jūros puta...".