Tėvai: Stanislovas Paškevičius ir Sofija Kuliešaitė-Paškevičienė – valstiečiai žemdirbiai. Seserys: Ona Paškevičiūtė-Banevičienė (1909–?), Veronika Paškevičiūtė (1911–?).

1915 m. kovo 29 d. Kurklių bažnyčioje jį pakrikštijo klebonas Jonas Gintila, krikštatėviais buvo Alfonsas Kulieša ir Marijona Žemaitytė.

1941 m. birželį A. Paškevičius buvo vienas iš sukilimo prieš sovietinę valdžią organizatorių. 

Pokario metais A. Paškevičius išėjo partizanauti. 1944 m. rugpjūčio mėnesį, bendramokslio Kazio Tylos-Tarzano paragintas, jis suorganizavo partizanų formuotę. Gavęs Robinzono slapyvardį, A. Paškevičius tapo kuopos vadu, sutelkė du būrius ir paskyrė jų vadus Kazį Rasiką ir Kazį Puodžiūną.

Iš pradžių partizanai apsistojo Burbiškio miške. Vėliau, Robinzono kuopai išaugus iki 40 kovotojų, 1944 m. rudenį ji įsikūrė dviejose žeminėse Kurklių šile, priklausė Žaliajai rinktinei.

Po susirėmimų išblaškius Žaliąją rinktinę, 1945 m. žiemą jis svetima pavarde pasitraukė į Vilnių, dirbo Vilniaus geležinkelio stotyje vairuotoju, vėliau slapstėsi Kėdainiuose, dirbo darbininku.

1948 m. rugsėjo 27 d. A. Paškevičius Kėdainiuose buvo suimtas, kalinamas ir tardomas Anykščiuose, vėliau Panevėžyje, o nuo 1949 m. pradžios –  Vilniuje. Ypatingasis pasitarimas 1949 m. vasario 12 d. jį nuteisė 25 metus kalėti ir 5 metus tremties. 1949 m. rugpjūtį jis buvo išvežtas į Rečlago lagerį (Komija, Rusija).

1956 m. gruodžio 25 d. A. Paškevičius buvo išleistas iš lagerio į laisvę.

Buvo vedęs, žmona Marijona Navikaitė-Paškevičienė (1910–1995).

Mirė 1992 m. Palaidotas Balninkų (Molėtų r.) kapinėse (S2 kvartalas, 3 eilė, 17 kapavietė) Navikų ir Paškevičių šeimos kape. Kapą ženklina paminklinė kompozicija iš dviejų pilko šlifuoto akmens stelų ir metalinio kryžiaus centre, stelose iškalti įrašai: "A+A / Paškevičiai / Marijona / 1910–1995 / Antanas / 1908–1992" ir "A+A / Navikai / Ona / 1887–1937 / Tomas / 1875–1957".