1958 m. baigė Kauno medicinos institutą, įgijo gydytojo išsilavinimą.

1963–1969 m. B. Balkevičius dirbo Ignalinos rajono ligoninės vyriausiuoju gydytoju.

1969˜–1973 m. jis buvo Lietuvos Sveikatos apsaugos ministerijos kadrų ir mokymo įstaigų skyriaus viršininko pavaduotojas, 1973–1985 m. – Lietuvos komunistų partijos Centro komiteto mokslo ir mokymo įstaigų skyriaus sveikatos apsaugos ir socialinio aprūpinimo sektoriaus vedėjas.

1975 m. jis apsigynė disertaciją "Lietuvos TSR gydytojų pasiskirstymo, jų panaudojimo bei kvalifikacijos kėlimo būklės tyrimai", buvo medicinos mokslų kandidatas, 1993 m. nostrifikuotas biomedicinos mokslų, medicinos daktaras.

1985–1993 m., iki gyvenimo pabaigos, B. Balkevičius buvo Motinos ir vaiko sveikatos apsaugos instituto direktorius.

Nuo 1978 m. jis buvo ir Vilniaus universiteto Medicinos fakulteto dėstytojas, nuo 1982 m. – docentas. Jis dėstė socialinės higienos ir sveikatos apsaugos organizacijos kursą.

B. Balkevičius paskelbė darbų apie sveikatos apsaugos organizavimą, socialinį aprūpinimą, gyventojų invalidumą, Lietuvos kurortus.

Jis parengė ir išleido vadovėlį "Socialinė higiena ir sveikatos apsaugos organizavimas" (su Bronislavu Kisieliumi, Vytautu Gurausku ir kitais, 1986 m.).

B. Balkevičiui buvo suteiktas Lietuvos SSR nusipelniusio sveikatos apsaugos darbuotojo vardas (1983 m.).

Buvo vedęs. Sūnus Ričardas Balkevičius (1958–2023),

Mirė 1993 m. gruodžio 24 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Rokantiškių kapinėse (64 sektorius, 9 eilė, 1 kapavietė). Kapą ženklina tamsiai pilko akmens paminklinė stela su iškaltu įrašu: "Balkevičių / šeima".