Tėvai: Jonas Butkevičius (1906–1979) iš Anykščių – amatininkas batsiuvys ir Ona Girskutė-Butkevičienė (1909–1973) iš Šeimyniškėlių. Broliai: Romualdas Butkevičius (1931–1931) – mirė kūdikystėje, Vladislovas Butkevičius (1937–1992) ir dvynys Vytautas Butkevičius (1940–1940) – mirė kūdikystėje.

1940 m. liepos 1 d. Anykščių bažnyčioje jį Rimanto Stanislovo vardais pakrikštijo vikaras Bronislavas Šateika.

1967–1968 m. R. Butkevičius dirbo Anykščių rajoninės gamybinės žemės ūkio valdybos statybos techninės priežiūros inžinieriumi, 1968–1973 m. buvo Anykščių tarpkolūkinės statybos organizacijos Techninio-gamybinio skyriaus viršininkas.

1967–1972 m. jis neakivaizdžiai mokėsi Vilniaus statybos technikume, įgijo statybos techniko specialybę.

1973–1991 m. R. Butkevičius buvo Anykščių tarpkolūkinės statybos organizacijos, Anykščių rajono statybos organizacijos pirmininko pavaduotojas.

1980–1986 m. jis neakivaizdžiai studijavo Vilniaus inžineriniame statybos institute, įgijo inžinieriaus ekonomisto išsilavinimą.

1991–2010 m. R. Butkevičius buvo Anykščių rajono savivaldybės valstybinės vandens tiekimo įmonės, po pertvarkymo – uždarosios akcinės bendrovės "Anykščių vandenys" direktorius. Jis buvo pirmasis savarankišką statusą įgijusios šios infrastruktūrinės įmonės vadovas. Išeidamas į pensiją 2010 m. birželį, jis buvo vyriausias amžiumi Anykščių rajono savivaldybės įmonės vadovas.

Jam vadovaujant, bendrovė "Anykščių vandenys" įgyvendino kelis stambius investicinius projektus: įrengė ir pradėjo eksploatuoti Anykščių miesto geriamojo vandens gerinimo įrenginius, perėmė, baigė statyti ir eksploatuoja Anykščių miesto biologinio nuotekų valymo įrenginius, įgyvendino Anykščių miesto vandentiekio ir nuotekų tinklų plėtros projektą (2005 m.). Įmonė taip pat perėmė ir pradėjo eksploatuoti Anykščių rajono kaimo vietovių vandens tiekimo ir nuotekų valymo sistemas, jas modernizavo, įdiegė paslaugų apskaitą.

R. Butkevičius buvo Anykščių verslo tarybos narys, Anykščių vadovų klubo narys (nuo 2005 m.).

Laisvalaikį skyrė kelionėms, stebėdavo futbolo ir krepšinio varžybas, ilsėdavosi sode.

Buvo vedęs, žmona Ramutė Repčytė-Butkevičienė (1944–2017) – tarnautoja. Liko našlys. Dukterys: Daiva (g. 1964 m.) ir Rosita (g. 1966 m.).

Mirė 2022 m. gruodžio 29 d. Anykščiuose. Palaidotas Anykščių senosiose kapinėse. Kapą ženklina pilko ir rausvo šlifuoto akmens paminklinė kompozicija su įrašais metalinėmis raidėmis: "Repčiai / Butkevičiai / Ona / 1909–1973 / Jonas / 1906–1979 / Ramutė / 1944–2017 / Rimantas / 1940–2022 / Vytautas 1963–2023".