Tėvai: Aleksandras Budrys ir Rozalija Stasiškytė-Budrienė. Augo 8 vaikų šeimoje, buvo vyriausias. Broliai ir seserys: Adomas Budrys (1910–?), Elena Budrytė (1912–?), Valerija Budrytė (1914–?), dvyniai Aleksandras Budrys (1916–?) ir Vincentas Budrys (1916–?), Antanina Budrytė (1918–?) ir Juzefa Budrytė (1921–?).

1909 m. balandžio 12 d. Svėdasų bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Kazimieras Matulis, krikštatėviais buvo Dominykas Stasiškis ir Barbora Stasiškienė, Jono Stasiškio žmona.

1925 m. baigė Viekšnių (Mažeikių r.) progimnaziją. 1925–1927 m. mokėsi Šiaulių mokytojų seminarijoje, kur baigė du kursus. 1927–1928 m. toliau mokėsi Kaune, Aukštojoje Panemunėje, kur baigė kūno kultūros kursus.

Nuo 1928 m. K. Budrys dirbo mokytoju.

1928–1930 m. jis baigė lietuvių kalbos kursus Viekšniuose.

1932 m. jis buvo Žalionės (Mažeikių r.) pradžios mokyklos vedėjas.

1936 m. žurnale "Tautos mokykla" K. Budrys paskelbė keletą straipsnių apie matematikos mokymo patirtį.

Tolesnis likimas nežinomas.