Tėvai: Alfonsas Klivickas (1925–1995) ir Anelė Klivickienė (1926–1997). Augo vyriausia trijų vaikų šeimoje su seserimi ir broliu. Sesuo Zita Klivickaitė-Šeštokienė (g. 1960 m.) – ekonomistė, brolis Pranas Klivickas (g. 1965 m.) – valstybės tarnautojas.

1965–1969 m. mokėsi Kirmėlių pradinėje mokykloje, 1969–1976 m. baigė Raguvos (Panevėžio r.) vidurinę mokyklą. Studijavo Lietuvos valstybinėje konservatorijoje (dabar – Lietuvos muzikos, teatro ir kino akademija), įgijo dainininkės solistės išsilavinimą.

Nuo 1997 m. iki šiol E. Klivickaitė yra Lietuvos nacionalinio operos ir baleto teatro artistė, dainininkė (mecosopranas).

Šio teatro pastatymuose ji dainuoja mecosoprano partijas ir vaidina vaidmenis: Kunigaikštienė (G. Puccini "Sesuo Andželika"), Alisa (G. Donizetti "Liučija di Lamermur"), Pažas (R. Strausso "Salomėja"), Madalena ir Džovana (G. Verdi "Rigoletas"), Flora (G. Verdi "Traviata"), Motina (B. Dvariono "Dalia"), Amneris (G. Verdi "Aida"), Marta (Ch. Gounod "Faustas"), Ana (J. Strausso "Vienos kraujas"), Lučija (P. Mascagni "Kaimo garbė"), Motinos balsas (J. Offenbacho "Hofmano istorijos"), Čipra (J. Strausso "Čigonų baronas"), Azučena (G. Verdi "Trubadūras"), Mirta (V. Klovos "Pilėnai"), Dzita (G. Puccini "Džani Skiki"), Grafienė (P. Čaikovskio "Pikų dama"), Ulrika ("Kaukių balius"), Švertlaitė (R. Wagnerio "Valkirija"), Tortila (J. Gaižausko "Buratinas"), Praskovja (F. Leharo "Linksmoji našlė"), Saulutė Močiutė (J. Tamulionio "Bruknelė"), Auklė (P. Čaikovskio "Eugenijus Oneginas"), vaidmuo G. Verdi operoje "Ernani".

E. Klivickaitės muzikiniame repertuare yra vokaliniai simfoniniai kūriniai: G. Verdi "Requem", A. Dvoržako "Requem", C. Franko "Les beatitudies", A. Honegerio "Žana dArk", F. Mendelsono-Bartoldy "Elias", L. van Bethoveno "Messe D-dur", S. Saint-Saenso "Oratorio de Noel", F. Schuberto "Messe Es-dur" ir kiti.

Ji dainavo Vokietijoje, Bulgarijoje, Lenkijoje, Taivanyje, Slovėnijoje, Italijoje, Latvijoje, dalyvavo tarptautiniame dainininkų konkurse Tulūzoje (Prancūzija, 1991 m.), tapo tarptautinio J. Medinio dainininkų konkurso Rygoje (Latvija, 1990 m.) laureate.

E. Klivickaitė yra nuolatinė Anykščių krašto, Pasaulio anykštėnų bendrijos ir Vilniaus anykštėnų sambūrio kultūros ir meno programų dalyvė, atliekanti įvairų muzikinį repertuarą.

Ji yra Raguvos (Panevėžio r.) gimnazijos Garbės galerijos narė.

Laisvalaikiu keliauja, grožisi gamta.