Seneliai: Stanislovas Feliksas Didžiulis (1856–1927) – bibliografas, švietėjas, ir Liudvika Nitaitė-Didžiulienė-Žmona (1856–1925) – rašytoja. Tėvai: Vytautas Didžiulis (1881–1956) – pedagogas gamtininkas ir Elena Vanagaitė-Didžiulienė (1893–1976) – administracijos tarnautoja. Įbrolis (tėvo sūnus iš pirmosios santuokos) Stasys Didžiulis (1914–1992) – mokslininkas inžinierius chemikas, emigrantas Australijoje.

Baigė Biržų pradinę mokyklą, mokėsi Biržų gimnazijoje, kur 1944 m. baigė keturias klases.

1944 m. vasarą Antrojo pasaulinio karo frontui nusiaubus Biržus ir sugriovus Didžiulių namus, šeima persikėlė į tėvo tėviškę Griežionėles (Anykščių r.). 1944–1948 m. L. Didžiulis mokėsi Anykščių gimnazijoje, ją baigė 5-ojoje abiturientų laidoje. Mokykliniais metais jis buvo aktyvus sportininkas bei meno saviveiklininkas: žaidė klasės krepšinio komandoje, vaidino spektakliuose, pats dainuodavo ir kitus ragino dainuoti lietuvių liaudies dainas. Biržuose privačiai išmokęs skambinti pianinu, Anykščių gimnazijoje 1946 m. jis suorganizavo klasės orkestrėlį.

1948–1954 m. L. Didžiulis studijavo Vilniaus universiteto Medicinos fakultete, įgijo gydytojo chirurgo išsilavinimą. Studijuodamas jis dainavo vyrų oktete, pasižymėjo gražiu tenoro balsu.

1954–1956 m. jis dirbo Medeikių (Biržų r.) kaimo medicinos punkto vedėju, 1956–1958 m. buvo Respublikinės Panevėžio ligoninės gydytojas chirurgas, nuo 1958 m. balandžio 1 d. pusmetį ėjo Panevėžio miesto Sveikatos apsaugos skyriaus vedėjo pareigas.

Nuo 1958 m. rudens iki gyvenimo pabaigos L. Didžiulis gyveno Vilniuje.

1958 m. rugsėjo pabaigoje jis trumpai dirbo Vilniaus 3-ojoje ligoninėje (dabar – Mykolo Marcinkevičiaus ligoninė) gydytoju chirurgu, o nuo 1958 m. spalio 1 d. buvo paskirtas tos ligoninės vyriausiuoju gydytoju ir šias pareigas ėjo 1958–1991 m. Šalia administracinio darbo šioje ligoninėje L. Didžiulis dirbo ir profesinį chirurgo darbą, buvo chirurgas proktologas.

1975 m. jis stažavosi Maskvos (Rusija) gydytojų tobulinimosi institute. Kaip aukštos klasės specialistas L. Didžiulis buvo žinomas ne tik Lietuvoje – pas jį atvažiuodavo gydytis pacientai net iš Armėnijos.

Jo vadovaujamoje Vilniaus 3-ojoje ligoninėje dirbo stipri aukštos kvalifikacijos gydytojų komanda, ligoninėje buvo įsikūrusi ir kraštiečio gydytojo Mykolo Marcinkevičiaus vadovaujama Vilniaus universiteto Medicinos fakulteto Vidaus ligų propedeutikos katedra. 1964 m. spalio 14 d. šioje ligoninėje profesorius Algimantas Marcinkevičius su grupe bendradarbių atliko pirmąją Lietuvoje atvirą širdies operaciją, o 1987 m. rugsėjo 2 d. – pirmąją Lietuvoje širdies persodinimo operaciją ligoniui.

1991 m. rugsėjo 1 d. pasitraukęs iš vyriausiojo gydytojo pareigų, 1991–1999 m. L. Didžiulis dirbo toje pačioje Vilniaus 3-ojoje ligoninėje gydytoju chirurgu proktologu, kol 1999 m. lapkričio 30 d. išėjo į pensiją, turėdamas 46 metų profesinės veiklos stažą.

L. Didžiuliui buvo suteiktas Lietuvos SSR nusipelniusio gydytojo garbės vardas (1980 m.) ir aukščiausia sveikatos apsaugos organizatoriaus higienisto kategorija (1983 m.).

Laisvalaikiu mėgo muziką, keliaudavo su vaikais prie Baltijos jūros.

Susituokė 1958 m. rugpjūčio 10 d. Panevėžyje, žmona Milda Šalkauskaitė-Didžiulienė (1930–2021) iš Joniškėlio (Pasvalio r.) – pedagogė edukologė. Vaikai: Saulius Didžiulis (g. 1959 m.) – muzikantas pianistas, muzikos pedagogas, ir Dainius Didžiulis (g. 1964 m.) – muzikantas gitaristas, muzikos pedagogas.

Mirė 2011 m. rugsėjo 15 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Kairėnų kapinėse (16 sektorius, 10 eilė, 13 kapas). Kapą ženklina rusvo šlifuoto akmens skulptūrinis paminklas su įrašu metalinėmis raidėmis: "Leonas / Didžiulis / 1929–2011".