Tėvai: Mykolas Kemėšis (1862–1924) ir Rozalija Juodelytė-Kemėšienė (1875–1900) iš Elmininkų – valstiečiai žemdirbiai. Broliai ir seserys: Paulina Kemėšytė (1896–1896) – mirė kūdikystėje ir Elena Kemėšytė (1896–1903) – mirė vaikystėje, Teodora Kemėšytė (1898–1903) – mirė vaikystėje, Bronislovas Kemėšis (1899–1989) – žemdirbys ūkininkas, tremtinys, ir Lionginas Kemėšis (1900–1900) – mirė kūdikystėje. Dėdė (motinos brolis) Anicetas Juodelis – (1862–1931) – savivaldos organizatorius, sūnėnas (brolio Bronislovo sūnus) Aleksandras Kemėšis (1927–1977) – kunigas, literatas.

Pirmojo pasaulinio karo pabaigoje iki 1917 m. B. Kemėšis buvo pirmasis darbą pradėjusios Leliūnų (Utenos r.) pradžios mokyklos mokytojas ir vedėjas.

1925 m. jis baigė Lietuvos žemės ūkio akademijos Miškininkystės skyrių Dotnuvoje (Kėdainių r.).

Iki 1929 m. B. Kemėšis dirbo Joniškio miškų urėdo pavaduotoju. 1929–1938 m. jis buvo Kėdainių miškų urėdas.

1938–1943 m. jis dirbo Miškų departamente taksuotoju. 1941 m. vasarą, dirbdamas lauko sąlygomis, jis išvengė tremties, nes represijas vykdę pareigūnai jo nesugebėjo surasti.

1943–1944 m. jis buvo Miškų ūkio generalinės direkcijos Miškų apsaugos direkcijos vedėjas.

1944 m. B. Kemėšis trumpai dirbo Miškų ūkio generalinės direkcijos urėdu be urėdijos, paskui buvo Miškų tvarkymo ir tyrimo direkcijos vedėjas.

1944 m. vasarą, artėjant frontui, B. Kemėšis, vengdamas sovietinių represijų, pasitraukė į Vakarus, gyveno Vokietijoje.

Nepriklausomoje Lietuvoje 1919 m. birželį B. Kemėšis buvo vienas iš Lietuvos šaulių sąjungos steigimo iniciatorių, dalyvavo steigiant pirmąjį šaulių būrį Kaune ir tapo jo nariu. Nuo to laiko iki 1940 m. jis buvo šaulys, kol pirmosios sovietinės okupacijos pradžioje Šaulių sąjunga buvo uždrausta.

1920 m. vasarą iki pirmojo Lietuvos šaulių sąjungos suvažiavimo, vykusio 1920 m. birželio 28 d., B. Kemėšis buvo neoficialiai suformuotos Lietuvos šaulių sąjungos Centro valdybos narys. Vėliau jis dirbo Sąjungos struktūrose, buvo Lietuvos šaulių sąjungos Bendrojo skyriaus viršininkas, 1921 m. minimas kaip Sudėties ir instruktavimo skyriaus viršininkas. 1922 m. liepos 2 d. jis buvo renkamas Lietuvos šaulių sąjungos Vyriausiojo teismo nariu, bet šių pareigų atsisakė, išvykęs į Dotnuvą studijuoti.

Nuo 1933 m. jis buvo išrinktas Kėdainių šaulių rinktinės valdybos nariu, nuo 1937 m. buvo Lietuvos šaulių sąjungos Šaulių Žvaigždės tarybos narys.

Jis buvo apdovanotas Lietuvos šaulių sąjungos Šaulių Žvaigždės ordinu (1931 m.).

Mirė 1949 m. (kitų šaltinių duomenimis – 1945 m.) Vokietijoje – paslaptingomis aplinkybėmis buvo nužudytas, gali būti, kad tapo sovietinių agentų auka.

B. Kemėšio biografija pristatoma enciklopedijos "Lietuvos miškininkai" 2-ajame tome (sudarytojas Gediminas Isokas, 1997 m.).