Jaunystėje R. Baltutytė aktyviai sportavo, buvo akademinio irklavimo pavienės dvivietės be vairininko, keturvietės su vairininku ir aštuonvietės valties irkluotoja. Jos pirmasis treneris buvo Alfonsas Mikšys, vėliau treniravo Eugenijus Vaitkevičius.

R. Baltutytė 13 kartų tapo Lietuvos irklavimo čempione: dviviete valtimi (1978 m.), keturviete valtimi (1972, 1973 ir 1977 m.) ir plaukdama maratoną (1973–1975 m.) bei aštuonviete valtimi (1971, 1972, 1974–1976 ir 1978 m.).

Ji buvo SSRS irklavimo čempionė, irkluodama keturvietėje su vairininku (1974 m.) ir aštuonvietėje (1981 m.) valtyse, keturis kartus laimėjo SSRS čempionatų sidabro medalius aštuonvietėje (1973 ir 1975 m.) bei keturvietėje su vairininku (1975 ir 1982 m.) valtyse, keturiskart tapo SSRS irklavimo čempionatų bronzos medalininkė: keturvietėje su vairininku (1973 m.), aštuonvietėje (1976 m.) ir dvivietėje (1979 ir 1980 m.) valtyse.

SSRS tautų spartakiadoje R. Baltutytė pelnė du sidabro medalius, irkluodama Lietuvos keturvietės ir aštuonvietės valčių įgulose (1975 m.) bei bronzos medalį dviviečių valčių lenktynėse (1979 m.).

R. Baltutytė buvo pasaulio irklavimo čempionė, irkluodama SSRS aštuonvietės valties įguloje (1981 m.). Ji dalyvavo XXII olimpinėse žaidynėse Maskvoje (Rusija, 1980 m.).

1973–1983 m. ji laimėjo daugelį tuo metu vykusių tarptautinių regatų: septynias regatas Manheime (Mannheim, Vokietija, 1980-1982 m.), dvi regatas Amsterdame (Olandija, 1974 m.), regatas Liucernoje (Šveicarija, 1975 ir 1981 m.), Didžiosios Maskvos regatą (Rusija, 1973 m.), "Gintarinių irklų" regatą ir kitas.

R. Baltutytei suteikti SSRS sporto meistrės (1974 m.) ir SSRS nusipelniusios sporto meistrės (1981 m.) vardai.