Augo keturių vaikų šeimoje su dviem broliais ir seserimi. Broliai ir sesuo: Giedrius Šilinis – emigrantas Didžiojoje Britanijoje, ? Šilinis ir Indrė Šilinytė.

2009 m. baigė Anykščių Jono Biliūno gimnaziją. 2009–2013 m. studijavo Aleksandro Stulginskio universitete, įgijo hidroenergetikos bakalauro išsilavinimą. 2013–2015 m. jis tęsė studijas Aleksandro Stulginskio universiteto magistrantūroje, 2016 m. apsigynė darbą "Nemuno upės hidrokinetinės energijos išteklių vertinimas ir technologijų tyrimai", įgijo hidroenergetikos magistro išsilavinimą.

Nuo 2016 m. L. Šilinis tęsė doktorantūros studijas Aleksandro Stulginskio universitete, nuo 2018 m. – Vytauto Didžiojo universiteto Žemės ūkio akademijoje.

Jis dirbo uždarojoje akcinėje bendrovėje "Kelprojektas" inžinieriumi.

Nuo 2019 m. iki šiol L. Šilinis yra Vidaus vandens kelių direkcijos vyriausiasis hidrografas, Hidrografijos skyriaus vadovas.

Nuo 2019 m. jis dirba ir Kauno kolegijos Technologijų fakultete lektoriumi, nuo 2020 m. buvo Vytauto Didžiojo universiteto Žemės ūkio akademijos Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakulteto lektorius. Jis buvo Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakulteto tarybos narys.

Mokykliniais ir studijų metais L. Šilinis aktyviai sportavo – buvo graikų-romėnų imtynininkas. Jis tapo Lietuvos suaugusiųjų graikų-romėnų imtynių čempionato prizininku (2007 m.), buvo įvairių tarptautinių turnyrų nugalėtojas ir prizininkas. Jis buvo išrinktas geriausiu 2007 m. Anykščių rajono imtynininku.

Vedęs, žmona Ligita Simanavičiūtė-Šilinė – kineziterapeutė. Augina sūnų.