Tėvai: Aronas Dovydas Šliosbergas ir Rachelė Finaitė-Šliosbergienė (1881–1937) – Radūnės miestiečiai, kilę iš Lidos apskrities (dab. Baltarusija). Sesuo Freida Šliosbergaitė (1906–1929) – mirė jaunystėje.

1902 m. balandžio 21 d. žydų religinių apeigų metu rabinas jam suteikė Benjamino Giršos vardus.

Gyvenadamas Anykščiuose ir nelaukdamas šaukiamojo amžiaus, 1920 m. birželio 9 d. B. Šliosbergas įstojo savanoriu į kuriamą Lietuvos kariuomenę ir tarnavo iki 1921 m. liepos 23 d. Jis dalyvavo kovose su lenkais ties Augustavu ir ten buvo patekęs į priešų nelaisvę.

Demobilizuotas jis grįžo į gimtinę ir gyveno Anykščiuose, vertėsi amatais. 1929–1939 m. jis organizavo veltinių gamybos verslą Anykščiuose – buvo veltinių dirbtuvių bendrasavininkis.

Nepriklausomoje Lietuvoje 1935–1940 m. B. Šliosbergas buvo Žydų karių, dalyvavusių Lietuvos nepriklausomybės atvadavime, sąjungos narys, 1937–1940 m. – šios sąjungos Anykščių skyriaus pirmininkas, aktyviai dalyvavo šios organizacijos veikloje.

Jam buvo suteiktas savanorio statusas, jis buvo apdovanotas Savanorio medaliu (1928 m.) ir Nepriklausomybės medaliu (1928 m.).

Vedė 1927 m. birželio 10 d. Utenoje, žmona Chaja Zelda Gildytė-Šliosbergienė (apie 1907 – po 1958) iš Anykščių. Vaikai: Aronas Šliosbergas (g. 1933 m.) ir Frida Šliosbergaitė (g. 1935 m.).

1941 m. birželio 14 d. Anykščiuose tarnautoju dirbęs B. Šliosbergas (pagal tremties dokumentus – Šlezbergas) pareigūnų buvo suimtas. Atskirtas nuo šeimos ir išgabentas į Rešotų lagerį (Žemutinio Ingašo r., Krasnojarsko kraštas, Rusija), jis buvo įkalintas Žemutinėje Poimoje. Ten kalinamą jį 1943 m. sausio 2 d. Ypatingasis pasitarimas nuteisė aštuoneriems metams kalėti pataisos darbų lageryje.

B. Šliosbergas buvo apkaltintas tuo, kad 1920‒1921 m. tarnavo Lietuvos kariuomenėje ir dalyvavo kovose už Nepriklausomą Lietuvą, kad būdamas vienas iš veltinių dirbtuvių savininkų išnaudojo samdomą darbo jėgą, o 1935–1940 m. buvo "buržuazinės nacionalistinės" žydų organizacijos narys ir net Anykščių skyriaus pirmininkas.

Tuo metu savanorio šeima – žmona Zelda Šliosbergienė su abiem vaikais Aronu ir Frida – 1941 m. birželio 14 d. iš Anykščių buvo ištremti į Altajaus kraštą (Rusija) ir įsikūrė Bijsko rajone, vėliau persikėlė į Bijską.

Atlikęs bausmę lageryje, B. Šliosbergas buvo išsiųstas į tremtį Šiaurės Jenisejske (Krasnojarsko kraštas, Rusija), kur gyveno kelerius metus. Tik 1955 m. jam buvo leista persikelti į tremtį Altajaus krašte. 1955–1958 m. jis gyveno Bijske kartu su šeima, kol 1958 m. kovo 26 d. visi buvo paleisti iš tremties. Šliosbergų šeima į Lietuvą negrįžo, tolesnis jų gyvenimas nežinomas.

Mirė po 1958 m.

B. Šliosbergo pavardė įrašyta tarp kitų anykštėnų – Lietuvos savanorių memoriale, įrengtame Anykščių Šv. Mato bažnyčios šventoriuje (2019 m.).