Tėvai: Titas Žilinskas ir Ona Žilinskienė.

1905 m. baigė Šiaulių gimnaziją. 1905–1911 m. studijavo Maskvos (Rusija) universitete mediciną, įgijo gydytojo išsilavinimą.

I. Žilinskas buvo Šaukėnų (Kelmės r.) ligoninės vedėjas, vėliau – Kauno gubernijos medicinos instituto gydytojas padėjėjas.

Pirmąjį pasaulinį karą I. Žilinskas praleido Rusijoje. 1918 m. grįžęs į Lietuvą, jis apsigyveno Šiauliuose, dirbo apskrities gydytoju, vertėsi privačia terapeuto praktika, buvo vienas žymiausių Šiaulių gydytojų. Savo namuose P. Višinskio gatvėje jis buvo įsirengęs priimamąjį, turėjo rentgeno kabinetą.

Olesinės kaime (Šiaulių r.) I. Žilinskas turėjo 60 ha ūkį vaizdingoje vietovėje prie Ventos upės, kur leisdavo laisvalaikį. 1943 m. šį ūkį jis dovanojo dukrai Janinai.

1944 m. I. Žilinskas emigravo į Vokietiją ir ten dirbo Augsburgo-Hochfeldo pabaltijiečių stovyklos ambulatorijos vyriausiuoju gydytoju.

1950 m. jis su žmona Aleksandra ir vaikais Andriumi ir Elena persikėlė gyventi į JAV, įsikūrė Čikagoje (Ilinojaus valstija), kur liko iki gyvenimo pabaigos.

Buvo vedęs, žmona Aleksandra Domeikaitė-Domeiko-Žilinskienė (1891–1984), kilusi iš bajorų giminės. Senatvėje išsiskyrė. Vaikai: Janina Žilinskaitė-Anglickienė (1914–1996) – pedagogė anglų kalbos mokytoja, pedagogo ir rašytojo Stasio Anglickio (1905–1999) žmona, Andrius Žilinskas (1915–?) – emigrantas JAV, Ipolitas Žilinskas, Sofija Žilinskaitė-Debodisco (1919–1986) – emigrantė JAV ir Elena Žilinskaitė-Pertik (1920–?) – emigrantė JAV. Anūkai (dukters Janinos vaikai): Jolanta Anglickaitė-Šleževičienė (1942–2014) – pedagogė, kultūros organizatorė, literatė, Anatolijus Erdvilas Anglickis (g. 1947 m.) – inžinierius mechanikas, Arvydas Anglickas (g. 1949 m.) – muzikos pedagogas ir Rimantas Domas Anglickas (1951–2014) – žurnalistas. Proanūkiai: Lina Šleževičiūtė-Sakalienė – pedagogė ir Darius Šleževičius (g. 1967 m.) – verslininkas.

Vėl vedė, žmona Stasė Rusteikaitė-Žilinskienė, kilusi iš bajorų giminės, – gydytoja odontologė.

Mirė 1953 m. sausio 27 d. Čikagoje (JAV). Palaidotas Čikagos Šv. Kazimiero lietuvių kapinėse šeimos kape. Kapą ženklina pilko šlifuoto akmens stela su iškaltu įrašu "Zilinskas", jos postamente iškalti įrašai: "Alexandra / 1891–1984" ir "Ipolitas M. D. / 1882–1953".