Tėvai: Konstantinas Kiaušas ir Karolina Gailiūnaitė-Kiaušienė – valstiečiai žemdirbiai. Broliai ir seserys: Kazimieras Kiaušas (1908–?), Evaristas Kiaušas (1909 – po 1996), Vladislovas Kiaušas (1911 – po 1996), Karolina Kiaušaitė-Karvelienė (1913–?), Bronislava Kiaušaitė-? (1917 – po 1996) ir Valerija Kiaušaitė-? (1928 – po 1996).

1905 m. spalio 27 d. Anykščių bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Ignotas Veblauskas, krikštatėviai buvo Jurgis Kiaušas ir Ona Gailiūnaitė.

1927 m. baigė Ukmergės gimnaziją, buvo skautas. 1927–1929 m. mokėsi Alytaus aukštesniojoje miškų mokykloje. Vėliau buvo pradėjęs ekonomikos studijas Vytauto Didžiojo universitete Kaune, bet jų nebaigė. 

1929–1930 m. J. Kiaušas buvo Alytaus mokomosios miškų urėdijos III eilės girininkas, 1930 m. – Alytaus miškų urėdijos Metelių, 1930–1931 m. – Seirijų III eilės girininkas. 1931–1934 m. jis dirbo Seinų miškų urėdijos Ančios II eilės girininku, 1934–1936 m. buvo Kretingos miškų urėdijos Palangos II eilės girininkas. Dirbdamas Palangoje, J. Kiaušas pasižymėjo kaip aktyvus kopų želdintojas.

1936–1939 m. jis dirbo Aukštosios Panemunės (Kauno r.) miškų urėdo pavaduotoju, tvarkė daktaro Jono Basanavičiaus parką Kaune. 1939–1940 m. jis buvo Valkininkų (Varėnos r.) III eilės miškų urėdas – pirmasis šios naujos miškų urėdijos vadovas.

1940–1943 m. J. Kiaušas buvo Šiaulių, 1943 m. – Ašmenos, 1943–1944 m. – Rietavo miškų urėdas.

Dirbdamas įvairiose Lietuvos vietovėse, J. Kiaušas visur organizuodavo medelių sodinimo vajus, buvo aktyvus nenaudojamų žemių apželdinimo mišku iniciatorius.

1944 m. jis pasitraukė į Vakarus, bet pasiliko Lenkijoje, 1944–1960 m. dirbo miškininku – buvo urėdas, miškų inspektorius. 1957 m. jis baigė studijas Varšuvos (Lenkija) universitete, įgijo miškų inžinieriaus išsilavinimą.

1960 m. J. Kiaušas išvyko į JAV, apsigyveno Harisone (Harrison, Naujojo Džersio valstija). 1960–1970 m. jis dirbo elektros, kelių ir tiltų statybos bendrovėse, kol išėjo į pensiją.

Jis priklausė ateitininkų organizacijai, JAV Lietuvių bendruomenei, buvo šeštadieninės lietuvių mokyklos mokytojas.

J. Kiaušas buvo Lietuvos miškininkų sąjungos narys, bendradarbiavo miškininkų leidinyje "Mūsų girios".

Buvo vedęs, žmona Natalija Staknytė-Kiaušienė (? – po 1996). Šeimoje užaugo penki vaikai: Rūta Kiaušaitė-Hoffa, Lilija Kiaušaitė-Sollish, Leonardas Kiaušas, Angelė Kiaušaitė – dainininkė solistė ir Danutė Kiaušaitė-Sucich

Mirė 1996 m. sausio 11 d. Hudsone (Naujojo Džersio valstija, JAV).

J. Kiaušo gyvenimas ir veikla pristatoma biografijų žinyno "Jungtinių Amerikos Valstijų lietuviai" 1-ajame tome (1998 m.), biografinio žinyno "Lietuvos miškininkai" 1-ajame tome (sudarė Gediminas Isokas, 1997 m.).