Tėvai: Petras Švejis (1855–1939) ir Barbora Tylaitė-Švejienė (1867–?) – valstiečiai žemdirbiai. Brolis Juozapas Švejis, seserys Ulijona Švejytė-Birbilienė, Ona Švejytė-Panavienė (?–1978) ir Marijona Švejytė-Krikštaponienė (1903–1993). Pusseserė (tėvo brolio duktė) Veronika Dikčiuvienė (g. 1930 m.) – pedagogė, tautodailininkė.

1923 m. baigė 5 klases Ukmergės gimnazijoje. Juozapui Kuktai tarpininkaujant, buvo priimtas ir 1923–1929 m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje. Studijuodamas susirgo, liga ilgainiui palietė proto galias.

1929 m. gegužės 25 d. Kauno arkikatedroje J. Švejis buvo įšventintas kunigu.

1929 m. birželio 16 d. J. Švejis aukojo pirmąsias Šv. Mišias Skiemonių (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos Aplankymo bažnyčioje.

1929–1933 m. jis tarnavo vikaru Jiezno (Prienų r.) Šv. arkangelo Mykolo ir Jono Krikštytojo parapijoje, talkino klebonams Jonui Galaunei ir Vytautui Vaičiuliui.

1933–1936 m. jis buvo Onuškio (Trakų r.) Šv. apaštalų Pilypo ir Jokūbo bažnyčios vikaras.

1936–1940 m. J. Švejis buvo Gegužinės (Kaišiadorių r.) Viešpaties Apreiškimo Švč. Mergelei Marijai bažnyčios vikaras, ten talkino klebonams Nikodemui Švogžliui-Milžinui ir Kazimierui Ribikauskui.

Pablogėjus sveikatai, 1940 m. J. Švejis grįžo į gimtąją Skiemonių parapiją, kur penkerius paskutinuosius metus praleido, giminių slaugomas. Jis per vargą atlikdavo kunigo pareigas, talkinamas provizoriaus Stepono Žvirblio.

Jaunystėje buvo labai guvus, mėgo filosofuoti, gerai giedojo, stropiai ruošėsi kunigystei.

Mirė 1945 m. lapkričio 29 d. Skiemonyse (Anykščių r.). Palaidotas Skiemonių bažnyčios šventoriaus kapinėse. Kapą ženklina pilko akmens paminklas-stela su įrašais: "A.+A. / Kun. / Jonas / Švejis / 1904–1945" ir "Amžina ramybė / Skiemoniečiai".

J. Švejo gyvenimas ir veikla pristatoma Stanislovo Kiškio kunigų biografijų rinkinyje "Kristaus pašauktieji" (1996 m.).