Tėvai: ? Puodžiūnas (?–1996) ir Regina Janina Dagytė-Puodžiūnienė (1934–2011). Pusbrolis (motinos sesers sūnus) Arūnas Kiaušas (g. 1962 m.) – inžinierius, socialinis darbuotojas, vadovas.

1969–1980 m. mokėsi Anykščių 2-ojoje vidurinėje mokykloje (dabar – Anykščių Antano Vienuolio progimnazija). 1980–1985 m. studijavo Lietuvos veterinarijos akademijoje, įgijo veterinarijos gydytojo išsilavinimą.

1985–1989 m. A. Puodžiūnas dirbo Anykščių rajono veterinarijos ligoninėje veterinarijos gydytoju, 1989–1996 m. buvo Anykščių valstybinės veterinarijos ligoninės veterinarijos gydytojas epizootologas, viršininko pavaduotojas.

Dirbdamas Anykščiuose, A. Puodžiūnas taip pat buvo Anykščių rajono veterinarijos gydytojų sąjungos pirmininkas, Medžiotojų ir žvejų draugijos Anykščių skyriaus valdybos pirmininkas.

Nuo 1996 m. jis gyvena ir dirba Vilniuje.

1996–1999 m. A. Puodžiūnas buvo Vilniaus epizootinio būrio viršininkas, 1999–2000 m. – Valstybinės veterinarijos audito tarnybos viršininkas. 2000–2005 m. jis dirbo Maisto ir veterinarijos audito tarnybos viršininku.

Reorganizavus šią tarnybą, nuo 2005 m. iki šiol A. Puodžiūnas yra Valstybinės maisto ir veterinarijos tarnybos Vidaus audito tarnybos viršininkas, po įstaigos struktūros pertvarkymo nuo 2018 m. – Vidaus audito skyriaus vedėjas.

2006–2008 m. jis tęsė studijas Mykolo Romerio universiteto magistrantūroje, įgijo vadybos magistro išsilavinimą.

Jis taip pat yra Lietuvos veterinarijos gydytojų asociacijos narys, buvo šios asociacijos Revizijos komisijos pirmininkas, dabar yra asociacijos Valstybinės maisto ir veterinarijos tarnybos sekcijos valdybos narys.

A. Puodžiūnas stažavosi Vokietijoje, Didžiojoje Britanijoje, Argentinoje, Japonijoje, Prancūzijoje, Belgijoje.

Valstiečių sąjungos sąraše jis buvo išrinktas į Anykščių rajono savivaldybės 1997–2000 m. kadencijos tarybą, užėmė likusią laisvą tarybos nario vietą ir 1999 m. gegužės–rugsėjo mėnesiais ėjo tarybos nario pareigas, kol atsisakė mandato savo iniciatyva.

A. Puodžiūnas yra Vilniaus anykštėnų sambūrio narys, iki 2016 m. buvo šio sambūrio tarybos narys. 2014 m. balandį jis buvo išrinktas Vilniaus anykštėnų sambūrio pirmininku ir šias pareigas ėjo 2014–2016 m., kol 2016 m. gruodį savo iniciatyva iš šių pareigų pasitraukė. 2014–2017 m. jis buvo Pasaulio anykštėnų bendrijos valdybos narys.

Laisvalaikiu medžioja, žvejoja.

Vedęs, žmona Asta Puodžiūnienė (g. 1968 m.) – gydytoja odontologė. Sūnus Kasparas Puodžiūnas (g. 2003 m.).