Tėvams persikėlus, augo Anykščiuose. 1969–1980 m. mokėsi Anykščių Jono Biliūno vidurinėje mokykloje. 1980–1986 m. studijavo Vilniaus universiteto Medicinos fakultete, įgijo gydomosios medicinos gydytojo išsilavinimą.

1986–1987 m. R. Lunevičius buvo Vilniaus miesto 6-osios klinikinės ligoninės ekstrinės chirurgijos skyriaus chirurgas internas, 1987–1990 m. – Rokiškio rajono centrinės ligoninės chirurgas-traumatologas, 1990–1991 m. – Vilniaus miesto 1-osios klinikinės ligoninės poliklinikos chirurgas, echoskopuotojas. 1991–1998 m. jis dirbo Vilniaus greitosios pagalbos universitetinės ligoninės Bendrosios chirurgijos klinikoje pilvo chirurgijos skyriuose gydytoju chirurgu.

1992–1996 m. R. Lunevičius tęsė studijas Vilniaus universiteto doktorantūroje, parengė ir 1996 m. Vilniaus universitete apsigynė biomedicinos mokslų, medicinos daktaro disertaciją "Kraujuojančių skrandžio ir dvylikapirštės žarnos opų chirurginio gydymo taktika".

1996–1997 m. jis buvo Vilniaus universiteto Bendrosios chirurgijos klinikos asistentas, 1997–1998 m. – vyresnysis asistentas, skaitė paskaitas temomis "Chirurginė infekcija", "Kraujo grupės, perpylimas", "Kraujavimas iš viršutinės virškinimo trakto dalies", "Kraujavimas iš virškinimo trakto", "Ūminis pankreatitas" gydomosios medicinos studentams ir vadovavo jų praktikos darbams.

Laimėjęs konkursą Japonijos vyriausybės Monbushou stipendijai gauti, 1998–2000 m. R. Lunevičius buvo Nagojos (Japonija) universitetinės ligoninės chirurgijos skyrių mokslo darbuotojas, vizituojantis tyrinėtojas. Jis studijavo japonų kalbą ir mediciną, atliko mokslinius onkologinės krypties tyrimus šioje ligoninėje bei Aichi vėžio centre. Gyvendamas ir dirbdamas Japonijoje, jis parengė ir išspausdino mokslinį straipsnį "Clinicopathological Significance of Fibrotic Capsule Formation Around Liver Metastasis from Colorectal Cancer" (2001 m.). Ten jis parengė ir 2000 m. apsigynė disertaciją "Ūminis kraujavimas iš viršutinės virškinimo trakto dalies: epidemiologiniai, eksperimentiniai, klinikiniai ir histologiniai tyrimai", yra habilituotas biomedicinos mokslų, medicinos daktaras.

2000–2003 m. jis buvo Vilniaus universiteto Bendrosios chirurgijos klinikos vyresnysis lektorius, 2003–2004 m. – docentas.

2004–2010 m. R. Lunevičius buvo Vilniaus universiteto Gastroenterologijos, nefrourologijos ir chirurgijos klinikos profesorius, rezidentų vadovas. Jis skaitė bendrosios ir ekstrinės chirurgijos paskaitas odontologijos ir gydomosios medicinos specialybės studentams, vadovavo jų praktikos darbams. Jis taip pat buvo Vilniaus ir Kauno universitetų doktorantūros tarybų ir habilitacijos komitetų pirmininkas ir narys.

2000–2010 m. jis dirbo Vilniaus greitosios pagalbos universitetinėje ligoninėje, buvo 2-ojo skubios pilvo chirurgijos skyriaus vyresnysis chirurgas. 2002–2004 m. jis buvo Gydymo tarybos pirmininko pavaduotojas. 2003–2010 m. jis buvo Bendrosios chirurgijos centro skrandžio ir dvylikapirštės žarnos chirurgijos sekcijos vadovas. Jis turi abdominalinio chirurgo licenciją ir abdominalinio onkochirurgo sertifikatą.

Vilniaus greitosios pagalbos universitetinėje ligoninėje R. Lunevičius įdiegė ūminio kraujavimo iš skrandžio ir dvylikapirštės žarnos opų gydymo algoritmą, sisteminės limfadenektomijos atliekant operaciją dėl virškinimo trakto organų epitelinės kilmės vėžio principus, laparoskopu asistuojamosios storosios žarnos chirurgijos ir transanalinės tiesiosios žarnos rezekcijos operacijas.

2001–2002 m. R. Lunevičius dirbo Marijampolės "Privačioje šeimos klinikoje" konsultantu-chirurgu, 2002–2010 m. buvo "Vilniaus senamiesčio medicinos centro" privačios klinikos konsultantas-chirurgas.

1996-1998 m. ir 2001–2010 m. jis kuravo Vilniaus universiteto Medicinos fakulteto Studentų mokslinės draugijos Bendrosios chirurgijos praktikos būrelio veiklą.

Nuo 2010 m. rudens R. Lunevičius gyvena ir dirba Didžiojoje Britanijoje. 2010–2012 m. jis buvo Londono Karališkojo koledžo ligoninės Skubios pagalbos ir traumų chirurgijos skyriaus gydytojas chirurgas traumatologas, nuo 2012 m. yra Liverpulio universitetinės ligoninės gydytojas chirurgas konsultantas. Jis dėsto medicinos studentams, dirba su rezidentais.

R. Lunevičiaus mokslinių interesų sritys – viršutinės virškinimo trakto dalies chirurgija (ūminis kraujavimas iš viršutinės virškinamojo trakto dalies, komplikuotų skrandžio ir dvylikapirštės žarnos opų chirurginio gydymo taktika, laparoskopinė viršutinio virškinimo trakto chirurgija (tulžies pūslė, prakiurusios dvylikapirštės žarnos opos), onkologinė gastroenterologinė chirurgija, skrandžio, kepenų ir kasos chirurgija, kepenų transplantacija) bei ekstrinė abdominalinė chirurgija. Jis yra tarptautinių tyrimų dalyvis.

R. Lunevičius taip pat yra žurnalo "Lietuvos chirurgija" vyriausiasis redaktorius, žurnalo "Central European Journal of Medicine" redaktorius bei mokslinio leidinio "The European Journal of Emergency Surgery and Intensive Care" redakcinės kolegijos narys, Lietuvos valstybinio mokslo ir studijų fondo komiteto narys, Vilniaus universiteto Baigiamojo medicinos egzamino pirmininkas.

Jis taip pat yra Vilniaus chirurgų draugijos narys ir Baltijos šalių chirurgų asociacijos narys, Lietuvos gastroenterologų draugijos narys (nuo 2001 m.) ir Lietuvos koloproktologų draugijos narys (nuo 2001 m.), Vokietijos-Baltijos šalių gydytojų asociacijos narys, Europos urgentinės chirurgijos ir traumatologijos asociacijos (European Emergency Surgery and Traumatology Association) bei Europos virškinimo trakto chirurgijos asociacijos (European Digestive Surgery Association) narys.

Jis stažavosi Lietuvos medicinos mokslo įstaigose bei Kristianstado (Švedija) centrinėje ligoninėje (1996 m.) ir Herlevo (Danija) universitetinėje ligoninėje (2001 m.). R. Lunevičiui buvo skirtos Lietuvos Respublikos Ministro Pirmininko (1995, 1997 m.), Tautos fondo (1993, 1996 m.), Lietuvos Mokslų akademijos (1994 m.) stipendijos kvalifikacijai įgyti. Laimėjęs konkursą, 2008–2009 m. jis studijavo, stažavosi ir baigė Huberto H. Humphrey programą Johns Hopkins universiteto Bloombergo visuomenės sveikatos mokykloje ir Marylando universiteto R. Adams Cowley Šoko ir traumos centre (JAV).

R. Lunevičius su kitais autoriais parengė ir išleido knygas "Urgentinė chirurgija" (2001 m.) ir "Klinikinė gastroenterologija" (2002 m.). Jis paskelbė metodines rekomendacijas "Kraujuojančių skrandžio ir dvylikapirštės žarnos opų diagnostika ir gydymas" (1997 m.), "Ūmi chirurginė infekcija" (2006 m.), "Virškinimo trakto stromos navikai: diagnostikos ir gydymo gairės" (2006 m.).

Jis taip pat parašė per 130 mokslinių straipsnių, kurie buvo publikuoti Lietuvos bei užsienio žurnaluose, yra per 50 mokslinių tezių autorius. Jis yra žurnalų "Surgical Endoscopy and Other Percutaneous Techniques", "Journal of Surgery and Gynecology", "The Saudi Journal of Gastroenterology", "Journal of Minimal Access Surgery", "Central European Journal of Medicine", "Collegium Antrolopologicum", "Lietuvos chirurgija", "Acta Medica Lithuanica", "Medicinos teorija ir praktika", "Visuomenės mokslai" recenzentas.

R. Lunevičius skaitė mokslinius pranešimus Čekijos, Ispanijos, Švedijos, Norvegijos, Estijos, Latvijos, Japonijos, Italijos, Lietuvos konferencijose ir kongresuose. Jis organizavo mokslines praktines konferencijas "Dvylikapirštės žarnos sužalojimai ir jų gydymas" (2004 m.) ir "Virškinimo trakto stromos navikai: paplitimas, diagnostika ir gydymas" (2006 m.) bei joms pirmininkavo.

Jis dalyvavo kuriant Didžiosios Britanijos televizijos kanalo "Chanel 4" dokumentinį serialą "24 valandos skubiosios pagalbos skyriuje" (2010–2011 m.), kur atskleidė gydytojo veiklos kasdienybę.

Jis dalyvauja bendruomenės visuomeninėje veikloje, 2006–2010 m. buvo Balsių bendruomenės tarybos narys.

R. Lunevičius apdovanotas Vilniaus ir Pizos (Italija) universitetų medaliais už pasiekimus, Amerikos biografijų instituto diplomu.

Jis moka anglų, rusų, japonų, lotynų ir ispanų kalbas. Laisvalaikiu domisi tarptautinėmis problemomis, sportuoja, mėgsta keliauti, skaito knygas.

Vedęs, žmona Kasumi Horie (g. 1970 m.). Dukterys: Gabija (g. 1986 m.), Ūla (g. 1988 m.), Rusnė (g. 1991 m.), Saulė Sajuri (g. 2004 m.).