Tėvai: Silvestras Šiaučiūnas (?–1924) ir Ieva Šiaučiūnienė – žemdirbiai ūkininkai, turėjo 7 ha žemės. Augo trijų vaikų šeimoje su dviem broliais.

Mokėsi Repšėnų (Anykščių r.) pradžios mokykloje. Įstojęs į 2-ąją klasę, 1922–1924 m. baigė Ukmergės gimnazijos 4 klases. 1924–1926 m. Ukmergės dvimečiuose mokytojų kursuose įgijo pradžios mokyklos mokytojo specialybę.

Paskirtas 1926 m. rugsėjo 1 d., 1926–1928 m. J. Šiaučiūnas dirbo Zanėnų (Molėtų r.) pradžios mokyklos vedėju. 1928–1941 m. jis buvo Kernavės (Širvintų r.) pradžios mokyklos mokytojas ir jos vedėjas, įrengė ir atidarė šioje mokykloje amatų klasę, įrengė meteorologijos stotelę. 

J. Šiaučiūno iniciatyva 1929–1930 m. naujame Kernavės pradžios mokyklos pastate buvo įrengtas ir 1930 m. gruodžio 28 d., Vytauto Didžiojo metų proga, atidarytas krašto muziejus – vienas pirmųjų regioninių muziejų Lietuvoje, išlikęs ir plečiamas iki šiol. 1962–1989 m. jis buvo Trakų istorijos muziejaus padalinys – Kernavės istorijos muziejus, dabar – Valstybinio Kernavės rezervato Archeologijos ir istorijos muziejus.

Daugybę autentiškų pirmųjų archeologinių eksponatų jam surinko ir sukaupė mokyklos vedėjo ugdomi vietiniai mokiniai, tyrinėję apylinkes mokomosiose ekspedicijose. Profesionaliai J. Šiaučiūno tvarkomas ir plėtojamas muziejus sulaukė Lietuvos mokslininkų ir švietimo proceso organizatorių dėmesio. Muziejuje buvo sukaupta akmens ir žalvario amžių radinių ekspozicija, unikalūs senoviniai pinigai, ginklai ir kovos priemonės, daug jų pats J. Šiaučiūnas supirko iš vietos gyventojų, išleisdamas savo santaupas. Iki 1940 m. muziejuje buvo sukaupta 630 eksponatų.

Jis pasižymėjo aktyvia kraštotyrine, etnografine bei švietėjiška veikla, energingai lietuvino sulenkėjusį kraštą, primindamas vietos žmonėms tūkstantmetę jų krašto istoriją, rinkdamas ir užrašinėdamas tautosaką.

J. Šiaučiūnas skaitė paskaitas Širvintose, Kauno ir Ukmergės apskrityse, vasaromis lankė kūno kultūros, darbų bei žemės ūkio ir amatų kursus, tuose sambūriuose garsino ir populiarino Kernavės piliakalnius ir šio krašto praeitį. Jo iniciatyva į Kernavę ėmė važiuoti ne tik lietuvių ekskursijos, bet ir turistai iš užsienio.

Kernavės jaunimui XX a. pirmojoje pusėje jo įdiegtas pagarbus požiūris į istorijos paminklus ir istorinius eksponatus ilgiems dešimtmečiams išsaugojo nesuardytas kultūrinio paveldo vietas ir jų kultūrinius sluoksnius, Kernavės apylinkėse išlikusius iki šių dienų.

J. Šiaučiūno iniciatyva Kernavėje buvo diegiamos tautinių švenčių bendruomeninio minėjimo tradicijos, jaunimui ir suaugusiems jis rengė įvairius mokymosi kursus, rašė sceninius vaizdelius, režisavo ir vaidino su mokiniais, rinko tautosaką. Jo rūpesčiu buvo įrengta ir atidaryta pašto agentūra, vaikų darželis, įrengtas parkas su gėlynais ir pastatyta miniatiūrinė Gedimino pilis su Žinyčios aukuru.

1940 m. vasarą jis surengė Kernavės 900-ųjų metinių teatralizuotą minėjimą ant piliakalnių.

Nepriklausomoje Lietuvoje 1927–1940 m. J. Šiaučiūnas buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys, ėjo Kernavės šaulių būrio vado pareigas. 1936–1940 m. jis buvo Jaunalietuvių sąjungos Kernavės skyriaus pirmininkas.

Už profesinę, muziejinę bei visuomeninę veiklą J. Šiaučiūnas buvo apdovanotas Vytauto Didžiojo ordinu (1935 m.), Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino ordinu (1938 m.) ir Nepriklausomybės medaliu (1928 m.).

Buvo vedęs, žmona Teodora Borsukaitė-Šiaučiūnienė (1906–2009) – 1941–1956 m. tremtinė Altajaus krašte. Vaikai: Eugenijus Juozapas Šiaučiūnas (1934–2022) – mokslininkas informatikas, tremtinys, Emilija Pajauta Šiaučiūnaitė-Garbonienė (g. 1937 m.) – mokslininkė matematikė informatikė, tremtinė.

1941 m. birželio 14 d. J. Šiaučiūnas su šeima – žmona ir dviem mažamečiais vaikais buvo suimtas, vežamas į Sibirą, Naujojoje Vilnioje atskirtas nuo šeimos ir įkalintas Rešotų lageryje (Žemutinio Ingašo r., Krasnojarsko kr., Rusija), tuo tarpu šeima iki 1956 m. gyveno tremtyje Altajaus krašte.

1942 m. už veiklą nacionalistinėse organizacijose J. Šiaučiūnas buvo nuteistas sušaudyti, bet paskui bausmė buvo pakeista 10 metų kalėti lageryje.

Mirė 1943 m. spalio 17 d. Rešotų lageryje (Žemutinio Ingašo r., Krasnojarsko kr., Rusija) – žuvo taigoje, užvirtus kertamam medžiui. Palaidotas Rešotuose. Kernavės kapinėse buvo įrengtas simbolinis jo kapas (kenotafas), kuriame dabar palaidota jo žmona. Kapą ženklina betoninis paminklas su įrašu: "Mokytojas / Juozas Šiaučiūnas / 1906–1943 / Kernavės / mokyklos vedėjas / 1928–1941 / Liūdi vaikai".

1999 m., minint Kernavės pradinės mokyklos 70-metį, jai buvo suteiktas Juozo Šiaučiūno vardas (dabar – Musninkų vidurinės mokyklos Kernavės Juozo Šiaučiūno pradinio ugdymo skyrius) ir atidengta memorialinė lenta Kernavės šviesuolio ir muziejaus įkūrėjo atminimui.

Kernavės archeologijos ir istorijos muziejuje saugoma J. Šiaučiūno laiškų, rašytų ant beržo tošies, kolekcija.

J. Šiaučiūno pedagoginė veikla pristatoma Kazio Račkausko informaciniame leidinyje "Nepriklausomos Lietuvos mokytojai : 1918–1940 metų biografijos" (2018 m.).