Brolis Rimantas Plėštys (g. 1948 m.) – mokslininkas inžinierius informatikas.

1974 m. baigė Anykščių Jono Biliūno vidurinę mokyklą. 1974–1979 m. studijavo Kauno politechnikos institute, įgijo telekomunikacijų inžinieriaus išsilavinimą.

1979–1982 m. A. Plėštys dirbo telekomunikacijų įmonėje inžinieriumi, 1982–1991 m. buvo Tauragės skaičiavimo mašinų elementų gamyklos gamybos vadovas.

1991 m. jis pradėjo karinę tarnybą besikuriančioje Lietuvos kariuomenėje, 1991–1995 m. tarnavo Motorizuotosios pėstininkų brigados "Geležinis vilkas" Tauragės batalione.

1995–1997 m. A. Plėštys studijavo JAV Gynybos akademijoje.

1997–2003 m. jis dirbo Lietuvos krašto apsaugos ministerijos Gynybos štabo viršininko pavaduotoju, atsakingu už ryšius ir informacines sistemas. 2003–2006 m. jis buvo Lietuvos karinio atstovo prie NATO ir ES pavaduotojas, atsakingas už ryšius, pulkininkas leitenantas.

2006–2010 m. A. Plėštys buvo Krašto apsaugos ministerijos Ginkluotės politikos skyriaus vedėjas.

2010–2015 m. jis buvo Ryšių ir informacinių sistemų tarnybos prie Lietuvos Respublikos Krašto apsaugos ministerijos direktorius, 2015–2017 m. – Krašto apsaugos ministerijos Kibernetinio saugumo ir informacinių technologijų departamento direktorius, Kibernetinio saugumo tarybos vicepirmininkas, kol baigė karo tarnybą ir išėjo į atsargą.

A. Plėštys apdovanotas ordino "Už nuopelnus Lietuvai" Riterio kryžiumi (2006 m.). Jis yra Anykščių Jono Biliūno gimnazijos Garbės galerijos narys (nuo 2008 m.).

Vedęs, žmona Ona Tatolytė – kariškė, valstybės tarnautoja. Sūnus Artūras Plėštys.