Tėvai: Stasys Jasiūnas – vairuotojas ir Marija Jasiūnienė – medikė. Augo dviejų vaikų šeimoje su jaunesne seserimi Regina.

1966–1977 m. mokėsi Pasvalio vidurinėje mokykloje. 1977–1982 m. studijavo Vilniaus inžinerinio statybos instituto Statybos fakultete, įgijo pramoninės ir civilinės statybos inžinieriaus išsilavinimą.

1982–1985 m. R. Jasiūnas dirbo Pasvalio tarpkolūkinėje statybos organizacijoje meistru, darbų vykdytoju, aikštelės viršininku.

Nuo 1985 m. iki šiol jis gyvena ir dirba Anykščiuose.

1985–1990 m. jis dirbo Anykščių tarpkolūkinės statybos organizacijos, rajono statybos organizacijos vyriausiuoju inžinieriumi.

Nuo 1990 m. R. Jasiūnas ėmėsi privataus verslo, 1990–1991 m. vadovavo kooperatyvui "Sėkmė", 1991–1993 m. buvo pirmosios Anykščiuose privataus kapitalo uždarosios akcinės bendrovės "Ad libitum" (didmeninė ir mažmeninė prekyba) savininkas ir direktorius.

1993–1998 m. jis buvo individualios įmonės "Rimaja" (automobilių remontas, "Ford" atstovybė) savininkas, 1998–2000 m. – uždarosios akcinės bendrovės "Jara" (didmeninė prekyba, holdingas) direktoriaus pavaduotojas.

2000–2012 m. jis buvo uždarosios akcinės bendrovės "Jarimpeksas" (didmeninė prekyba pašarais ir jų priedais) vienintelis akcininkas ir direktorius. Jo vadovaujama įmonė kasmet patekdavo į didžiausių Anykščių rajono verslo įmonių trejetą, pagal 2008 m. apyvartos dydį (37,4 mln. litų) buvo trečioji. 2012 m. bendrovė "Jarimpeksas" bankrutavo.

Dabar R. Jasiūnas yra uždarųjų akcinių bendrovių "Rimpex", "Jarimpekso statyba" ir "Linvalis" akcininkas.

R. Jasiūnas yra Anykščių vadovų klubo narys ir klubo valdybos narys, 2005–2008 m. buvo Anykščių krepšinio klubo "Puntukas-Jarimpeksas" prezidentas.

Laisvalaikį skiria žvejybai, krepšiniui, kelionėms baidarėmis.

Buvo vedęs, žmona Irmunda Jasiūnienė (g. 1962 m.) – ekonomistė, verslininkė. Išsiskyrė 2013 m. Duktė Kamilė Jasiūnaitė.

Vėl susituokė 2015 m. vasarą, žmona Rasa Kežutienė-Sadūnė-Jasiūnė – vadybininkė, verslininkė.