Tėvai: Kazimieras Mozūras ir Apolonija Lukštaitė-Mozūrienė. Brolis Stanislovas Mozūras – kunigas.

Mokėsi Pakruojo pradžios mokykloje, 1917–1919 m. baigė Šiaulių gimnaziją. 1919–1925 m. satudijavo Kauno kunigų seminarijoje. 1925 m. kovo 1 d. buvo įšventintas subdiakonu.

1925 m. birželio 14 d. vyskupas Pranciškus Karevičius įšventino K. Mozūrą kunigu.

1925–1927 m. jis tarnavo vikaru Linkuvoje (Pakruojo r.).

1927–1929 m. K. Mozūras tęsė studijas Kauno Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakulteto Teologijos skyriuje bažnytinę teisę, gavo teologijos licenciato laipsnį. Studijuodamas ir gyvendamas Kaune, nuo 1928 m. rugsėjo jis buvo Dr. J. Tumėno brandos kursų religijos dėstytojas, 1928–1929 m. – šių kursų prefektas, kiek laiko tarnavo Pažaislio vienuolyno kapelionu. 1928 m. vasario 20 d. jis dalyvavo Kaune vykusioje Kunigų abstinentų vyskupo Motiejaus Valančiaus draugijos konferencijoje ir ten buvo išrinktas Centro valdybos nariu.

Paskirtas 1929 m. liepos 20 d., 1929–1931 m. K. Mozūras buvo Anykščių Šv. Mato bažnyčios vikaras, talkino klebonui Juozapui Norvilai. Kartu jis buvo ir Anykščių vidurinės mokyklos kapelionas, tikybos, istorijos ir visuomenės mokslų mokytojas, nuo 1930 m. dėstė tik tikybą.

Jo iniciatyva 1929 m. buvo surengtas pirmasis Anykščių vidurinės mokyklos viešas kultūros vakaras Anykščių miesto bendruomenei. Kapeliono paskatinti, mokiniai vaidino spektaklį "Šv. Agnietė". Vėliau tokie vaidinimai mokykloje tapo tradiciniais. Pajamos, gautos už viešųjų vakarų bilietus, kapeliono iniciatyva buvo kaupiamos specialiame fonde ir skiriamos neturtingiems mokiniams remti bei moksleivių ekskursijoms rengti.

Klebonijoje jis įkūrė savo knygynėlį, skatindamas Anykščių jaunimą burtis ir skaityti, ypač stengėsi bendrauti su Anykščių skautais – vienintele nuo 1930 m. legaliai veikusia mokyklinio jaunimo organizacija. 1931 m. K. Mozūras Anykščiuose organizavo slaptą ateitininkų kuopelę, suagitavęs 14 skautų tapti jos nariais, už tai buvo valdžios smerkiamas, bet miestiečių užjaučiamas. Jis taip pat bandė steigti Anykščiuose eucharistininkų kuopą, bet negavo Anykščių vidurinės mokyklos pedagogų tarybos leidimo.

Pakeitęs išvykusį mokytoją Andrių Galinį, 1929–1931 m. K. Mozūras vadovavo Vyskupo Motiejaus Valančiaus liaudies universiteto Anykščių skyriui, pats kaip lektorius skaitė daug kursų. Jis buvo vienas iš Vyskupo Antano Baranausko parapijos salės statybos iniciatorių ir organizatorių, rinko lėšas statybai ir pats daug fiziškai statybvietėje dirbo iki pat parapijos salės įkurtuvių. Dėl įtempto darbo ir rūpesčių dvasininkui nusilpo sveikata.

1931 m. birželio 25 d. K. Mozūras buvo paskirtas vikaru į Krekenavą (Panevėžio r.), nuo 1931 m. rugpjūčio 1 d. – ir Krekenavos vidurinės mokyklos tikybos mokytoju.

Dėl pašlijusios sveikatos tą pačią vasarą nuo rugpjūčio pabaigos jis perkeltas ir 1931–1933 m. buvo Ramygalos (Panevėžio r.) vikaras, nuo 1931 m. rugsėjo 1 d. – Ramygalos vidurinės mokyklos tikybos mokytojas bei kapelionas. 1932 m. vasarą jis visą mėnesį dalyvavo Dubline (Airija) vykusiame XXXI tarptautiniame Eucharistiniame kongrese.

Perkeltas nuo 1933 m. balandžio 1 d., 1933–1935 m. K. Mozūras buvo Utenos gimnazijos tikybos mokytojas ir kapelionas, Utenos pradžios mokyklos bei Vaikutėnų (Utenos r.) pradžios mokyklos tikybos mokytojas. Nuo 1934 m. pavasario jis buvo paskirtas Lietuvos katalikių moterų draugijos Utenos rajono dvasios vadu. 1934 m. vasarą pustrečio mėnesio jis praleido JAV, kur susipažino su Amerikos mokyklų sistema ir Amerikos katalikų organizacijų veikla, vėliau šias žinias paskleidė Lietuvoje.

1935–1939 m. jis buvo Daugailių (Utenos r.) Šv. Antano Paduviečio bažnyčios kuratas, Dusetų parapijos kunigas filalistas. Jo iniciatyva 1939 m. vietoj Daugailių filijos buvo įsteigta Daugailių parapija, K. Mozūras 1939–1940 m. buvo pirmasis jos klebonas. 1939–1940 m. jis suremontavo seną medinę bažnyčią, 1937–1940 m. pastatė naują kleboniją, kurią 1944 m. atėmė vietiniai stribai. 1936–1940 m. jis buvo ir Zarasų dekanato vicedekanas. 1940 m. jis surinko ir parašė pirmąją Daugailių parapijos istoriją.

1940 m. rudenį K. Mozūras ruošėsi vykti į JAV pas sergantį brolį kunigą, todėl buvo atleistas iš Daugailių klebono pareigų, gyveno tėviškėje, bet dėl politinių aplinkybių į kelionę nebeišvyko.

1940 m. pabaigoje pakeitęs Bronislovą Bumšą, 1940–1956 m. jis buvo Pumpėnų (Pasvalio r.) Švč. Mergelės Marijos Škaplierinės parapijos klebonas. 1942 m. jo rūpesčiu buvo atnaujintas ir pagražintas Pumpėnų bažnyčios didysis altorius, vėliau – ir Šv. Juozapo altorius. Antrojo pasaulinio karo metais tarnaudamas Pumpėnuose, K. Mozūras padėjo vietiniams žydams rasti prieglobstį parapijos ūkininkų namuose ir pelnė vieno iš žydų gelbėtojų vardą. 1948 m. sausio mėnesį šios parapijos klebonijai priklausančiuose namuose K. Mozūro iniciatyva buvo įkurti parapijiniai globos namai, kuriuose apsigyveno apie 30 vienišų senelių. K. Mozūras rinko ir 1947 m. parašė pirmąją Pumpėnų bažnyčios istoriją.

Silpstant sveikatai, jis kelis kartus atostogavo ir gydėsi, vis prašė vyskupijos atleisti jį iš klebono pareigų, bet prašymai liko nepatenkinti.

1956 m. K. Mozūras buvo paskirtas Pamūšio (Pakruojo r.) Šv. Antano Paduviečio parapijos administratoriumi, bet į paskyrimo vietą dėl prastos sveikatos ir nesibaigiančio gydymosi nenuvyko.

1957–1958 m. jis buvo altarista Joniškyje, kiek laiko pavadavo sergantį Paįstrio (Panevėžio r.) Švč. Mergelės Marijos Globos bažnyčios kleboną. 1958–1960 m. jis buvo altarista Pasvalyje, 1960-1963 m. buvo paskirtas laikinuoju Karsakiškio (Panevėžio r.) Nukryžiuotojo Jėzaus parapijos klebonu, bet jo prašymu nuo 1963–1964 m. grąžintas altarista į Pasvalį ir iki 1972 m. buvo Pasvalio altarista. 1967 m., kol sirgo klebonas Bronius Žilinskas, jis administravo Grūžių (Pasvalio r.) Švč. Mergelės Marijos parapiją.

1972 m. K. Mozūras trumpam persikėlė altarista į Pakruojį. Kiek pasitaisius sveikatai, 1972–1973 m. jis buvo Dambavos (Radviliškio r.) Dievo Apvaizdos parapijos klebonas, tačiau netrukus vėl pasiprašė atleidžiamas dėl prastos sveikatos.

Nuo 1973 m. kovo 29 d. iki gyvenimo pabaigos jis liko Pakruojo altarista, nuo tų metų lapkričio 21 d. – altarista-vikaras, pagal jėgas talkino pastoracijoje. Kiek laiko jis pavadavo Smilgių (Panevėžio r.) parapijos dvasininkus.

1975 m. pasitikęs kunigystės 50-metį, jis buvo kunigas jubiliatas.

Amžininkų prisiminimuose liko kaip savotiško būdo, parapijiečiams nepataikavęs ir jų bičiulystės nesiekęs dvasininkas. 

Mirė 1994 m. gruodžio 26 d. Pakruojyje. Palaidotas gimtosios Klovainių (Pakruojo r.) parapijos kapinėse.