Tėvai: Mataušas Kukta (1880–1962) iš Trakinių ir Aleksandra Justinavičiūtė-Kuktienė (1876–1949) iš Gudonių – žemdirbiai ūkininkai. Augo keturių vaikų šeimoje. Broliai ir sesuo: Petras Kukta, Antanas Kukta – emigrantas Kanadoje ir Emilija Kuktaitė-Dedelienė.

Prasidėjus Pirmajam pasauliniam karui, kartu su visa šeima persikėlė į Nyderlandus ir ten augo apie 1915–1920 m., kol šeima grįžo į Lietuvą ir toliau gyveno Gudoniuose.

Baigė Ukmergės gimnaziją.

1931 m. jis buvo mobilizuotas į Lietuvos kariuomenę ir pasiųstas mokytis. 1932 m. spalio 31 d. J. Kukta baigė Karo mokyklą Kaune XIV laidoje, jam buvo suteiktas kavalerijos jaunesniojo leitenanto karinis laipsnis.

Nuo 1932 m. rudens iki 1940 m. J. Kukta tarnavo 2-ajame ulonų Lietuvos Kunigaikštienės Birutės pulke Alytuje.

1934 m. liepos 31 d. jis baigė Vytauto Didžiojo karininkų kursų kulkosvaidininkų kursus II laidoje. 1935 m. lapkričio 23 d. jam buvo suteiktas leitenanto laipsnis. 1936 m. kaip Krašto apsaugos ministerijos stipendininkas jis baigė Somiūro (Prancūzija) kavalerijos mokyklą, kur mokėsi taisyklingai jodinėti ir treniruoti jojikus, 1937 m. – šarvuočių karininkų kursus, paskui ėjo šarvuočių autobūrio vado pareigas.

1938 m. kovo 31 d. J. Kukta buvo paskirtas 2-ojo ulonų Lietuvos Kunigaikštienės Birutės pulko sunkiųjų kulkosvaidžių eskadrono vadu, 1939 m. lapkričio 23 d. jam suteiktas kapitono karinis laipsnis.

1940 m. pirmosios sovietinės okupacijos laikotarpiu likviduojant Lietuvos kariuomenę, 1940 m. spalio 3 d. J. Kukta buvo paskirtas Raudonosios armijos 29-ojo šaulių teritorinio korpuso 615-ojo artilerijos pulko mechaninės traukos parko vadu. 1941 m. birželį iš karinės tarnybos jis pasitraukė ir pasiliko Lietuvoje.

Nepriklausomoje Lietuvoje kartu J. Kukta su kitais karininkais Kaune organizavo jojimo varžybas ir pats jose dalyvavo. Lietuvos I tautinėje olimpiadoje (1938 m.) Medžioklinio jojimo rungtyje jis pelnė bronzos medalį. Kariuomenės taurės varžybose Palangoje (1939 m.) jis be baudos taškų įveikė 140 cm aukščio kliūčių maršrutą ir laimėjo vieną iš konkūrų.

1941–1944 m. J. Kukta gyveno žmonos tėviškėje ir dirbo Tryškių (Telšių r.) valsčiaus viršaičiu.

Bėgdamas nuo sovietinės valdžios persekiojimo, 1945 m. jis su šeima persikėlė į Musninkus (Širvintų r.) ir ten 1945–1948 m. dirbo vietiniame tarybiniame ūkyje buhalteriu.

J. Kukta 1949 m. sausio 1 d. buvo suimtas, kalintas Vilniuje. 1949 m. rugsėjo 22 d. Karo tribunolas nuteisė jį 25-eriems metams lagerio ir penkeriems metams tremties. 1950 m. kovo 13 d. nugabentas į Kunejevlagą (Kuibyševo sritis, Rusija), ten jis buvo kalintas 1950–1955 m., kol byla buvo peržiūrėta ir kalinimas nutrauktas.

Grįžęs į Lietuvą be teisės gyventi bet kokiame Sovietų Sąjungos mieste, J. Kukta įsikūrė Kiduliuose (Šakių r.) ir 1955–1959 m. dirbo Kidulių tarybiniame ūkyje buhalteriu. 1959–1962 m. jis dirbo Šilutės rajono Nemuno valstybiniame žirgyne jojimo treneriu.

Tęsdamas dar Nepriklausomoje Lietuvoje pradėtą veiklą, J. Kukta populiarino ir plėtojo žirgų sportą tarp jaunimo, pats aktyviai sportavo.

Už nuopelnus sportui gavęs teisę apsigyventi dėdės Jono Kuktos (1877–1966) jam dovanotame name, 1962 m. jis įsikūrė ir iki gyvenimo pabaigos pasiliko Kaune. 1962–1975 m. jis buvo Kauno jojimo sporto mokyklos treneris, 1975–1985 m. dirbo Lietuvos SSR jojimo rinktinės treneriu, kol išėjo į pensiją.

Jis išugdė SSRS ir Lietuvos čempionus, tarptautinės klasės sporto meistrus raitelius Zigmantą Šarką, Rimantą Babrauską ir kitus.

J. Kuktai buvo suteiktas Lietuvos SSR nusipelniusio trenerio vardas (1976 m.).

Buvo vedęs, žmona Janina Milaševičiūtė-Kuktienė (1918–1964) iš Tryškių. Liko našlys. Vaikai: Birutė Kuktaitė (1942–1957) – mirė paauglystėje, Edmundas Kukta (1945–1945) – mirė kūdikystėje ir Severinas Kukta (g. 1956 m.) – inžinierius mechanikas, pedagogas technologijos mokytojas.

Mirė 1990 m. sausio 30 d. Kaune. Palaidotas Kidulių (Šakių r.) kapinėse šeimos kape šalia žmonos ir dukters.

Kauno miesto jojimo veteranai nuo 2000 m. kasmet rengdavo senjorų (45 metų ir vyresnių raitelių) konkūrus Jono Kuktos pereinamajai taurei laimėti, šios varžybos paskatino 2002 m. įkurti ir Kauno miesto jojimo veteranų klubą.