Tėvai: Stefanas Puško ir Zefirina Puško.

1984–1992 m. mokėsi Gaidės pagrindinėje mokykloje, baigė 8 klases. 1992–1993 m. devintąją klasę baigė Visagine. 1993–1996 m. toliau mokėsi Visagino politechnikos mokykloje, įgijo elektromechaniko specialybę, 1994–1997 m. kartu baigė ir vidurinę mokyklą Visagine.

1998–2004 m. studijavo Vilniaus Šv. Juozapo kunigų seminarijoje, įgijo teologijos bakalauro ir religinių studijų magistro išsilavinimą.

Baigęs studijas, 2004–2005 m. A. Puško buvo paskirtas praktikai į Pasvalio Šv. Jono Krikštytojo parapiją, buvo jaunimo sielovados bendradarbis.

2005 m. liepos 16 d. Panevėžio Kristaus Karaliaus katedroje jis buvo įšventintas diakonu ir paskirtas Rokiškio Šv. apaštalo evangelisto Mato parapijos pastoraciniu bendradarbiu.

2006 m. vasario 18 d. Panevėžio Kristaus Karaliaus katedroje Panevėžio vyskupas Jonas Kauneckas įšventino A. Puško kunigu.

2006–2007 m. A. Puško tarnavo Rokiškio Šv. apaštalo evangelisto Mato parapijos vikaru. Perkeltas 2007 m. liepos 23 d., 2007–2008 m. jis buvo Utenos Dievo Apvaizdos parapijos vikaras.

Paskirtas 2008 m. rugpjūčio 8 d., 2008–2017 m. jis buvo Leliūnų (Utenos r.) Šv. Juozapo parapijos klebonas ir Pakalnių (Utenos r.) Švč. Trejybės parapijos administratorius. 2010–2017 m. jis administravo ir Burbiškio (Anykščių r.) Švč. Jėzaus Širdies parapiją.

Tarnaudamas parapijose, jis daug dėmesio skyrė šventovių remontams. Leliūnuose jo iniciatyva buvo renovuoti abu bažnyčios bokštai ir atnaujinti vargonai, Burbiškio bažnyčioje sudėti nauji langai ir durys, sutvarkyti pamatai. Jis pradėjo organizuoti Leliūnų bažnyčioje vargonų muzikos koncertus, organizavo jaunimo religinę veiklą.

Paskirtas 2017 m. liepos 4 d., nuo 2017 m. A. Puško yra Ramygalos (Panevėžio r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos klebonas.

Nuo 2018 m. liepos 11 d. jis kartu administruoja Truskavos (Kėdainių r.) Šventosios Dvasios bei Anciškio (Kėdainių r.) Šv. apaštalo evangelisto Mato parapijas.

Jo rūpesčiu iš Vokietijoje uždarytos bažnyčios buvo įsigyti ir Truskavos bažnyčioje sumontuoti 17 balsų vargonai, įrengti šios bažnyčios šventoriaus pėsčiųjų takai, suremontuotos Truskavos kapinių koplyčia, Anciškio bažnyčia ir varpinė. Jis organizuoja Ramygalos bažnyčios išorės ir vidaus renovaciją: atnaujino 500 metų senumo varpą ir išliejo du naujus varpus, sumontavo naują varpų konstrukciją ir automatinio skambėjimo mechanizmą, remontuoja bažnyčios bokštus ir bokštelius, įrengė naujus šventoriaus pėsčiųjų takus.

Nuo 2014 m. jis buvo Panevėžio vyskupijos pastoracinės tarybos narys, dabar yra Vyskupijos kunigų tarybos narys, konsultorius. Nuo 2018 m. jis yra Panevėžio vyskupijos Gyvojo rožinio draugijos dvasios tėvas.

A. Puško aktyviai dirba su katalikiškuoju jaunimu, surengė išvykų ir ekskursijų, pasižymėdamas atviru bendravimu ir nuoširdžiu pamokslavimu.

Laisvalaikiu skaito knygas, mėgsta keliones ir iškylas dviračiu, klausosi klasikinės muzikos.