Tėvai: Juozas Klimašauskas (1906–1998) – pasienio policijos pareigūnas, 1941–1959 m. politinis kalinys ir tremtinys, ir Elena Grikiapelytė-Klimašauskienė (1907–1998) – amatininkė siuvėja, 1941–1959 m. tremtinė. Sesuo Aurelija Klimašauskaitė (1939–1941) – 1941 m. tremtinė, mirusi vaikystėje tremtyje.

Pirmosios sovietinės okupacijos pradžioje 1940 m. vasarą tėvą nušalinus nuo tarnybos Lietuvos-Lenkijos pasienyje, šeima persikėlė į motinos tėviškę ir 1940–1941 m. gyveno Nemeikščiuose (Utenos r.).

1941 m. birželio 14 d. A. Klimašauskas su motina ir seserimi buvo ištremtas į Barnaulą (Altajaus kr., Sibiras, Rusija), o jo tėvas 1941 m. gegužės 25 d. suimtas ir dešimčiai metų įkalintas Rešotų lageryje (Žemutinio Ingašo r., Krasnojarsko sr., Sibiras, Rusija).

1941–1942 m. jis su motina gyveno Južakovo medkirčių gyvenvietėje (Troickojės r., Altajaus kraštas, Rusija).

1942 m. vasarą A. Klimašauskas su motina buvo perkelti į šiaurę, į Lenos žiočių salas Laptevų jūroje. 1942–1943 m. jis gyveno Tit Ari (Buluno ulusas, Jakutija, Rusija), 1943–1947 m. – Bykovskyje (Bykovo kyšulys, Buluno ulusas, Jakutija), 1947–1950 m. – Tiksyje (Buluno ulusas, Jakutija, Rusija). A. Klimašauskas mokėsi Bykovskio pradinėje ir Tiksio vidurinėje mokyklose rusų kalba.

Gavę leidimą išvykti į švelnesnio klimato vietovę, 1950 m. jiedu persikėlė į Oliokminską (Oliokminsko ulusas, Jakutija, Rusija). 1950–1956 m. A. Klimašauskas toliau mokėsi Oliokminsko vidurinėje mokykloje rusų kalba.

1958 m. spalio 10 d. paleistas iš tremties ir 1959 m. pradžioje grįžęs į Lietuvą, A. Klimašauskas apsigyveno Vilniuje ir ruošėsi studijuoti aviaciją ar teisę, bet dėl tremties tokios galimybės negavo. 1959–1962 m. jis mokėsi Vilniaus elektromechanikos technikume, kurį baigė su pagyrimu ir įgijo radijo ryšio ir transliacijos techniko specialybę.

1962–1969 m. jis dirbo Vilniaus elektromechanikos technikume dėstytoju, dėstė elektros ir radijo medžiagas, pramoninę elektroniką, impulsų techniką ir braižybą.

1969 m. pabaigoje, baigiant statyti naują radijo ir televizijos retransliacijos stotį Viešintose (Anykščių r.), jis buvo pakviestas montuoti jos radiotechninę įrangą, persikėlė gyventi į Viešintas ir čia pasiliko.

1970–1997 m. jis dirbo Lietuvos televizijos ir radijo transliacijų centro Viešintų stotyje pamainos viršininku, pertvarkius pareigybes – pamainos inžinieriumi, kol išėjo į pensiją.

1973 m. ir vėliau A. Klimašauskas buvo Viešintų vidurinės mokyklos, Viešintų pagrindinės mokyklos bei Surdegio devynmetės mokyklos pavaduojantis mokytojas, dėstė astronomiją, fiziką ir technologijas.

A. Klimašauskas rašo eiles, yra Anykščių literatų klubo "Marčiupys" narys. Jo kūryba publikuota periodikoje, Anykštijos autorių kūrybos sutelktinėse "Išpažįstame šį jausmą ir meile vadiname" (2007 m.) ir "Marčiupys 2010" (2011 m.). Jis parengė ir išleido memuaristinės poezijos rinkinį "Išpažintis be ašarų", iliustruotą jo paties piešiniais (2015 m.).

Nuo 2004 m. jis piešia grafitiniais pieštukais, surengė savo piešinių parodas "Gyvenimas tremtyje" Anykščių L. ir S. Didžiulių viešojoje bibliotekoje (2010 m.), Utenos kraštotyros muziejuje (2011 m.) ir Siauruko muziejuje Anykščiuose (2021 m.). Jo kūrybos paroda buvo surengta Viešintų pagrindinėje mokykloje (2006 m.).

Laisvalaikiu konstruoja veikiančius radijo įrenginius ir buities prietaisus bei baldus, lėktuvų modelius.

Vedęs, žmona Gražina Širvinskaitė-Klimašauskienė (g. 1951 m.) – medikė, vaistininkė. Vaikai: Arnoldas Klimašauskas (g. 1974 m.) – miškininkas ir Irma Klimašauskaitė-Danilaitienė (g. 1977 m.) – chemikė ekologė.

A. Klimašausko gyvenimas ir kūryba išsamiai pristatyta Tautvilio Užos biografiniame rinkinyje "Talentingieji viešintiškiai" (2012 m.).