Tėvai: Povilas Konkolevičius ir Petronėlė Kliučinskaitė-Konkolevičienė – valstiečiai žemdirbiai. Broliai: ? Konkulevičius (? – apie 1916) – kariškis pulkininkas, žuvęs Pirmojo pasaulinio karo fronte, Mykolas Konkulevičius (1878–1936) – miškininkas, miškininkystės pedagogas, Jonas Konkulevičius – savivaldos organizatorius.

Augo Pranionių dvare (Panevėžio r.). Mokėsi Liepojos (Latvija) gimnazijoje. Baigė Kauno kunigų seminariją.

1888 m. F. Konkolevičius buvo įšventintas kunigu.

1888–1891 m. jis tarnavo Krekenavos (Panevėžio r.) parapijos vikaru, 1891–1893 m. buvo Salantų (Kretingos r.) parapijos vikaras.

Paskirtas 1893 m. sausio pabaigoje, 1893–1895 m. F. Konkolevičius buvo Kavarsko (Anykščių r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos vikaras, talkino klebonui Petrui Legeckui. 1895 m. vasarą iš Kavarsko jis buvo iškeltas.

1895–1897 m. jis buvo Pamituvio (dabar – Stakiai, Jurbarko r.) Šv. Antano Paduviečio bažnyčios kuratas, kunigas filialistas, apie 1897–1902 m. buvo Nerimdaičių (Telšių r.) Šv. apaštalo Baltramiejaus bažnyčios kuratas, kunigas filialistas.

Apie 1902–1909 m. F. Konkolevičius buvo išvykęs į Ameriką.

Grįžęs į Lietuvą, 1909–1912 m. jis buvo Gegrėnų (Plungės r.) Jėzaus Nazaretiečio bažnyčios kuratas, kunigas filialistas, 1912–1915 m. – Beržoro (Plungės r.) Šv. vyskupo Stanislovo bažnyčios kuratas, kunigas filialistas.

Pirmojo pasaulinio karo metu 1915 m. F. Konkolevičius buvo pasitraukęs į Rytus ir gyveno Ardatove (Mordvija, Rusija).

Grįžęs į Lietuvą, 1921 m. pabaigoje jis buvo paskirtas Pakalnių (Utenos r.) Švč. Trejybės parapijos klebonu, bet netrukus buvo atleistas iš šių pareigų. 1922 m. rudenį jis buvo laikinai paskirtas Alsėdžių (Plungės r.) parapijos vikaru, paskui buvo Notėnų (Skuodo r.) Šv. kankinės Kotrynos bažnyčios kuratas.

1926–1931 m. F. Konkolevičius vėl tarnavo Beržoro bažnyčios kuratu, kol 1931 m. pabaigoje dėl senatvės iš šių pareigų buvo atleistas.

1932–1933 m. jis gyveno pas brolį Mykolą Panevėžyje, paskui nuo 1933 m. iki gyvenimo pabaigos senatvę praleido Palangoje.

Mirė 1935 m. kovo 3 d. Palangoje. Palaidotas Naujamiesčio (Panevėžio r.) kapinėse Konkulevičių šeimos koplyčioje.