Tėvai: Jonas Antanaitis (?–1933) iš Petriškių ir Jadvyga Antanaitienė (?–1976) iš Dapšionių – žemdirbiai ūkininkai, turėjo 60 hektarų žemės. Augo gausioje šeimoje, kurioje gimė 10, o užaugo 8 vaikai, buvo jauniausias. Brolis Zenonas Antanaitis (?–1949) – laisvės gynėjas, 1949 m. rugsėjo 29 d. žuvęs pokario kovose, seserys: Elena, Viktorija, Michalina, Adelė, Liudvika ir Paulina Antanaitytė-Gorskienė – tremtinės.

Anksti mirus tėvui, užaugo su motina.

1931–1932 m. baigė pirmąjį skyrių Jasonių pradžios mokykloje, įrengtoje Antanaičių namuose, 1932–1935 m. baigė keturis skyrius Jukiškio (Radviliškio r.) pradžios mokykloje, 1935–1936 m. – penktąjį skyrių Smilgių (Panevėžio r.) pradžios mokykloje. Savarankiškai pasiruošęs ir nelankęs šeštojo skyriaus, įstojo į Šeduvos (Radviliškio r.) progimnaziją. Karo metais mokėsi Panevėžio J. Balčikonio gimnazijoje, bet vengdamas mobilizacijos į vokiečių kariuomenę, iš jos pasitraukė ir 1944 m. baigė Šeduvos gimnaziją.

1944–1949 m. studijavo Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje.

1948 m. spalio 31 d. vyskupas Kazimieras Paltarokas įšventino B. Antanaitį kunigu. Kartu buvo įšventinti Jonas Pilka, Povilas Svirskis ir kiti kunigai. Dėl sovietinės valdžios persekiotos šeimos pirmųjų Šv. Mišių gimtosios Smilgių parapijos bažnyčioje aukoti negalėjo.

1949 m. jis trumpai buvo Pasvalio vakaras, paskui 1949–1950 m. tarnavo Anykščių Šv. Mato parapijoje vikaru, talkino klebonui Jurgiui Žitkevičiui ir vikarui adjutoriui Vincentui Arlauskui.

1950–1955 m. B. Antanaitis buvo Onuškio (Rokiškio r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonas.

1955 m. jis buvo paskirtas Panevėžio vyskupo Kazimiero Paltaroko sekretoriumi-kancleriu, 1955–1957 m. gyveno ir dirbo Vilniuje.

Nuo 1957 m. B. Antanaitis buvo Krekenavos (Panevėžio r.) klebonas, organizavo bažnyčios stogo atnaujinimą, fasadinių sienų remontą.

Už aktyvumą, tvarkant maldos namus, jis buvo iškeltas į nuošalias parapijas. Iš pradžių jis tarnavo Alksninės (Vilkaviškio r.) Kristaus Atsimainymo parapijos klebonu, čia suremontavo bažnyčią ir pastatė varpinę. Paskui iki 1974 m. jis buvo Avilių (Zarasų r.) Šv. Kryžiaus Išaukštinimo parapijos klebonas, Aviliuose irgi suremontavo bažnyčią, įdėjo naujas grindis, išlygino sienas.

1974–1995 m. B. Antanaitis tarnavo Šeduvos (Radviliškio r.) Šv. Kryžiaus Atradimo parapijos klebonu, kiek laiko buvo ir Dambavos (Radviliškio r.) Dievo Apvaizdos parapijos klebonas. Šeduvos bažnyčioje jo rūpesčiu buvo sudėtos naujos grindys, išlygintos sienos, pastatas iš lauko perdažytas, suremontuotas zakristijos stogas.

Pradėjus leisti "Lietuvos katalikų bažnyčios kroniką", B. Antanaičio iniciatyva Panevėžio vyskupijoje buvo suburtas kunigų dešimtukas kovai prieš sovietinės valdžios represijas, 1980 m. davęs priesaiką jo sesers P. Gorskienės bute Panevėžyje. Per B. Antanaitį, bendravusį su Suvalkijos kunigais, Panevėžio vyskupijos dvasininkai gaudavo žinių iš Vilkaviškio vyskupijos. Jis organizavo protesto parašų rinkimus, dėl to sovietinio saugumo buvo nuolat stebimas ir persekiojamas.

1995–1997 m. jis buvo Kauno kunigų seminarijos vicerektorius, 1997–1998 m. trumpai tarnavo Linkuvos (Pakruojo r.) Švč. Mergelės Marijos Škaplierinės parapijos klebonu.

1998–2006 m. B. Antanaitis buvo Panevėžio Švč. Trejybės bažnyčios rektorius. Šioje bažnyčioje jo inicaityva buvo suremontuotas vidus, įrengti nauji vargonai, bažnyčia perdažyta iš lauko, sutvarkytas jos bokštas, kad jame būtų galima pakabinti varpus.

2006–2013 m. B. Antanaitis buvo Smilgių (Panevėžio r.) Šv. Jurgio parapijos klebonas. Jis suremontavo gimtosios parapijos bažnyčią. Nuo 2013 m. spalio iki gyvenimo pabaigos jis buvo Panevėžio Kristaus Karaliaus katedros altarista, talkino pastoracijoje. Pablogėjus sveikatai, paskutines gyvenimo dienas jis praleido Panevėžio Šv. Juozapo globos namuose.

Nuo XX a. vidurio jis buvo Panevėžio vyskupijos katedros kapitulos kanauninkas, paskirtas dar vyskupo Kazimiero Paltaroko. 2002–2007 m. jis ėjo šios kapitulos pirmininko pareigas. Nuo 1974 m. jis buvo Panevėžio vyskupijos Meno tarybos narys.

1990–2003 m. jis buvo Panevėžio vyskupijos Bažnytinės nuosavybės priežiūros ir remonto komisijos narys, 1991–2003 m. – Vyskupijos kunigų tarybos narys, konsultorius, 2003–2005 m. –  Vyskupijos kunigų tarybos konsultorių kolegijos narys, nuo 2005 m. – vėl kunigų tarybos narys, konsultorius. Nuo 1992 m. jis buvo ir Pastoracinės tarybos narys. Senatvėje jis buvo Panevėžio vyskupijos katedros kapitulos emeritas.

B. Antanaitis buvo apdovanotas Lietuvos Nepriklausomybės medaliu (2010 m.), jam buvo suteiktas neginkluoto pasipriešinimo (rezistencijos) laisvės kovų dalyvio statusas (2005 m.).

Popiežius Benediktas XVI suteikė jam apaštalinio protonotaro (prelato) titulą (2006 m.). Jam buvo suteiktas Šeduvos (Radviliškio r.) garbės piliečio vardas (2011 m.).

1998 m. paminėjęs kunigystės 50-metį, B. Antanaitis buvo kunigas jubiliatas.

Mirė 2018 m. vasario 27 d. Panevėžyje. Palaidotas Panevėžio miesto kapinėse Ramygalos gatvėje.