Baigė Palangos vidurinę mokyklą. Studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje.

1899 m. Žemaičių vyskupas Mečislovas Paliulionis įšventino P. Vanagą kunigu.

Iki 1903 m. P. Vanagas tarnavo Elernos (dabar – Baltarusija) parapijoje, 1903–1904 m. buvo Vaiguvos (Kelmės r.) parapijos vikaras.

Atvykęs 1904 m. gegužę, 1904–1906 m. jis buvo Kavarsko (Anykščių r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos vikaras, talkino klebonui Petrui Legeckui.

Kavarske P. Vanagas skatino lietuvybę, kovojo prieš girtavimą. 1905 m. revoliucinio pakilimo laikotarpiu kavarskiečiai nušalino buvusius valsčiaus pareigūnus ir išrinko naujus. Carinės Rusijos valdžia įtarė, kad prie tokio perversmo prisidėjo ir P. Vanagas. Už pamokslą, pasakytą prieš dvarponius, 1906 m. vasarį jis buvo nušalintas nuo Kavarsko vikaro pareigų ir perkeltas į Žemaitiją, 1906–1907 m. gyveno Skuode, kur talkino pastoracijoje. Perkeltas 1907 m. lapkritį, 1907 m. pabaigoje jis trumpai tarnavo vikaru Šiaulėnuose (Radviliškio r.), buvo ir Jankiškių pradžios mokyklos tikybos mokytojas.

1908–1910 m. P. Vanagas tarnavo Grinkiškio (Radviliškio r.) parapijoje vikaru, 1910 m. pusmetį buvo Kriaunų (Rokiškio r.) parapijos vikaras, 1910–1912 m. – Pušaloto (Pasvalio r.) parapijos vikaras, talkino klebonui Jonui Jaskevičiui.

1912 m. vasaros pradžioje P. Vanagas buvo atleistas iš pareigų ir penkeriems metams išvyko į JAV, bet ten pasiliko iki senatvės. Iš pradžių jis įsikūrė Harisburge (Harrisburg, Pensilvanijos valstija), vėliau buvo Bingamtono (Binghamton, Niujorko valstija) parapijos klebonas, šiame mieste pastatė naują parapijos bažnyčią.

Vėliau jis tarnavo Kamdeno (Camden, Naujojo Džersio valstija) katalikų parapijos klebonu, buvo Bejono (Bayonne, Naujojo Džersio valstija) parapijos klebonas. Bejone jis atnaujino bažnyčią ir kleboniją. 1922–1924 m. jis tarnavo Monrealio (Kanada) Šv. Kazimiero parapijos klebonu.

Perkeltas 1926 m. pabaigoje, 1926–1936 m. P. Vanagas buvo Džersio (Jersey City, Naujojo Džersio valstija) Šv. Onos parapijos klebonas. Džersyje jis iš esmės sutvarkė bažnyčią ir kleboniją, įdėdamas daug ir asmeninių lėšų. Vos atvykęs, jis baigė įrengti rūsį po visa bažnyčia ir jį pritaikė parapijos salei. Vėliau jis apkalė bažnyčią iš lauko ir perdažė jos vidų, įtaisė bažnyčioje naujus vargonus, didįjį altorių ir suolus.

P. Vanagui globojant, 1930 m. Džersyje susibūrė ir įsikūrė Lietuvos Vyčių 124-oji kuopa. 1933 m. jis surengė Džersyje parapijos 20-mečio iškilmes, o 1934 m. ten paminėjo savo kunigystės 35-metį. 1936 m. balandį P. Vanagas atsisveikino su šia parapija ir išvyko į Lietuvą.

1937 m. liepą P. Vanagas grįžo į JAV pasigydyti ir pasisvečiuoti, vėl apsistojo Džersyje ir čia gyveno iki 1938 m. pavasario, dalyvaudamas Šv. Onos parapijos veikloje, lankydamas ir kitas lietuviškas parapijas. 1938 m. gegužę jis grįžo į Lietuvą, įsikūrė Palangoje ir čia liko iki gyvenimo pabaigos.

Amžininkų prisiminimuose išliko kaip dosnus ir kilnus  dvasininkas. Laisvalaikiu domėjosi knygomis ir spauda.

Mirė 1949 m. Palangoje. Palaidotas Palangos bažnyčios šventoriuje. Kapą ženklina  betoninis paminklas-kryžius su portretine nuotrauka ir įrašu metalinėje lentelėje: "Kunigas / Petras / Vanagas / 1874–1949 / Ilsėkis / Viešpaties ramybėje!".