Tėvas Aleksandras Tomas Šufinskas – dvarininkas bajoras.

Baigė Raseinių bajorų mokyklą, Riazanės (Rusija) progimnaziją, Rygos (Latvija) gimnaziją. 1898–1903 m. studijavo Žemaičių vyskupijos kunigų seminarijoje Kaune. 1902 m. buvo įšventintas subdiakonu.

1903 m. pabaigoje A. Šufinskas buvo įšventintas kunigu.

1904 m. vasarį atvykęs į Anykščius, 1904–1905 m. A. Šufinskas tarnavo Anykščių Šv. Mato bažnyčioje vikaru, talkino klebonui Juozapui Vembrei.

Perkeltas 1905 m. spalį, 1905–1908 m. jis buvo Raudondvario (Kauno r.) vikaras, 1908–1911 m. – Kurtuvėnų (Šiaulių r.) vikaras. Kurtuvėnuose jo iniciatyva buvo atidaryta Lietuvių katalikų blaivybės draugijos biblioteka-skaitykla, o jos steigėjas A. Šufinskas ten dirbo bibliotekininku.

1911 m. nuo vasario iki liepos jis buvo vikaras Plungėje, vidurvasarį iš šių pareigų buvo atleistas, po mėnesio vėl grąžintas ir tarnavo iki 1913 m. pavasario. 1913–1918 m. A. Šufinskas buvo Pajūrio (Šilalės r.) Švč. Trejybės bažnyčios kuratas, Žvingių (Šilalės r.) parapijos kunigas filialistas. 1918 m. nuo sausio iki vasario jis tarnavo Vėžaičių (Klaipėdos r.) Šv. Kazimiero bažnyčios kuratu, buvo kunigas filialistas.

1918 m. pavasarį A. Šufinskas praleido Šilalės altarijoje, nuo 1918 m. gegužės 1918–1921 m. gyveno Varnių (Telšių r.) altarijoje. Ten 1919 m. sausį jis įsivėlė į nusikaltimą – keršydamas pakurstė plėšimą.

1921–1923 m. jis tarnavo Rumšiškių (Kaišiadorių r.) vikaru, 1923 m. nuo sausio iki birželio buvo Veliuonos (Jurbarko r.) vikaras, kol iš šių pareigų buvo atleistas. Nuo 1923 m. liepos iki 1924 m. pavasario jis buvo Akmenės parapijos altarista. 1924 m. balandį jis buvo paskirtas laikinuoju vikaru į Linkuvą (Joniškio r.), o nuo 1924 m. rudens pusmetį tarnavo vikaru Kamajuose (Rokiškio r.), paskui 1925 m. kovą perkeltas vikaru į Klovainius (Pakruojo r.), vėliau tarnavo kunigu filialistu netoli Plungės.

1926 m. Šiaulių apygardos teisme A. Šufinskas kartu su nusikaltimo bendrininkais buvo nuteistas 1 metams ir 8 mėnesiams sunkiųjų darbų kalėjimo.

1928 m. A. Šufinskas buvo paskirtas pirmuoju statomos Alėjų (Raseinių r.) Švč. Trejybės bažnyčios kuratu, 1928–1929 m. čia buvo kunigas filialistas, pradėjo rūpintis naujos bažnyčios statyba, bet dėl kilusių intrigų buvo iškeltas. Išvykdamas jis sunaikino bažnyčios statybos rengimo dokumentus.

1933 m. birželį jis buvo paskirtas Pakalnių (Utenos r.) altarista.

1940 m. A. Šufinskas tarnavo Girkalnio (Raseinių r.) parapijoje.

Mirė (?)