Tėvai – dvarininkai bajorai.

1861 m. baigė Raseinių bajorų mokyklą. 1862–1866 m. studijavo Žemaičių vyskupijos kunigų seminarijoje, studijas pradėjo Varniuose (Telšių r.), o 1864–1866 m. jas baigė Kaune, kur persikėlė seminarija.

1866 m. L. Klenauskis buvo įšventintas kunigu.

Paskirtas 1866 m. rugpjūtį, 1866–1868 m. jis buvo vikaras Veiviržėnuose (Klaipėdos r.).

Atvykęs 1868 m. liepą, 1868–1874 m. L. Klenauskis buvo Anykščių Šv. Mato parapijos vikaras, talkino parapijos administratoriui Simonui Gutauskui. Gyvendamas Anykščiuose, jis dirbo ir Anykščių liaudies mokykloje tikybos mokytoju.

1874 m. balandžio 8 d. paskirtas Palėvenės (Kupiškio r.) Šv. Domininko parapijos administratoriumi, L. Klenauskis šias pareigas ėjo 1874–1906 m., paskui 1906–1913 m., iki gyvenimo pabaigos, liko gyventi Palėvenėje kaip altarista.

Palėvenėje jis atstatė dar 1851 m. perkūnijos sudegintą bažnyčios varpinės bokštą, statė naujus parapijos ūkio pastatus. Jo užsakymu Vilniaus meistrai pagamino bažnyčiai tris puošnias klausyklas bei gipsines kryžiaus kelio stotis – visa tai parapijai tarnauja iki šiol.

L. Klenauskis organizavo Palėvenės bažnyčios šventoriaus akmenų mūro tvoros statybą. Jo iniciatyva buvo įrengti puošnūs šventoriaus vartai, sumūryta 14 stilingų kryžiaus kelio stočių bokštelių, įrengtos meniškos stotys. Šalia bažnyčios dvasininkas įveisė didelį sodą, kuriame pasodino apie 300 vaismedžių.

Mirė 1913 m. Palėvenėje (Kupiškio r.). Palaidotas Palėvenės kapinėse. Kapą juosia geležinė tvorelė, jį ženklina pilkas akmeninis kryžius su portretine nuotrauka ir įrašais postamente.