Gimimo data pagal naująjį kalendorių – 1910 m. gruodžio 8 d.

Tėvas Kazimieras Paškevičius – savo giminės ir viso Andrioniškio krašto metraštininkas.

Baigė Andrioniškio pradžios mokyklą, Anykščių vidurinę mokyklą, paskui – Panevėžio mokytojų seminariją. Studijavo Vilniaus pedagoginiame institute germanistiką.

J. Paškevičius dirbo mokytoju Utenos apskrities mokyklose: iš pradžių Šikšnių (Utenos r.) pradžios mokykloje, o 1939–1940 m. buvo Leliūnų (Anykščių r.) pradžios mokyklos Mičionių komplekto mokytojas. Jis pasižymėjo kaip komunikabilus, bet griežtas ir reiklus. Pasak amžininkų prisiminimų, J. Paškevičius turėjo radijo imtuvą, žiniomis noriai dalijosi su kaimo žmonėmis, taip pat važinėjo motociklu.

Jis taip pat buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys, mėgo muziką, grojo smuiku, gitara ir kanklėmis, organizavo dramos ratelių veiklą.

1941–1944 m. J. Paškevičius dirbo Vilniaus universiteto Filologijos fakultete, dėstė vokiečių kalbą.

1944 m. J. Paškevičius pasitraukė į Vakarus, 1945–1949 m. dirbo Miuncheno (Vokietija) lietuvių gimnazijoje, dėstė vokiečių kalbą. 1949 m. vasarą jis išvyko į JAV ir iki gyvenimo pabaigos gyveno Pitsburge (Pittsburgh, Pensilvanijos valstija). Jis mokėsi įvairių kalbų – galėjo bendrauti 11 kalbų, kiek laiko dirbo Baltuosiuose rūmuose Vašingtone vertėju.

J. Paškevičius parašė ir išleido melodraminę pjesę "Išskirtos širdys : 3 veiksmų vaidinimas Motinos dienai" (1939 m.), taip pat kitų scenos vaizdelių, kurie buvo statomi mokyklose.

Jis išvertė apie keturiasdešimt vokiečių rašytojų auklėjamosios prozos kūrinių: Paul Keller "Trys žiedai" (1936 m., kitas leidimas – 1939 m.), "Palaimintoji Ona Marija Taidži", Hans Georg Buchholtz "Vieno vaiko meilė : našlaitės mokinės romanas" (1936 m.), Hubert Fleckes "Dievo karvytės kelionė į žmonių šalį" (1937 m.), Marina Tudichum "Karaliukas Mažuliukas ir kitos apysakaitės" (1938 m.) ir kitus.

Pagal įvairius autorius J. Paškevičius parengė vadovėlius: "Vokiečių kalbos gramatika. Deutsche Schulgrammatik" (1946 m.), "Vokiečių kalbos vadovėlis. Lehrbuch der deutschen Sprache : mokyklai ir pačiam mokytis" (1947 m.). Jis sudarė ir išleido žodynus: "Lietuviškai vokiškas žodynėlis" (1940, 1943 m.), "Lietuviškai vokiškas žodynas. Litauisch-deutsches Worterbuch" (24 tūkst. žodžių, 1947 m.), "Litauisch-Deutsches Worterbuch. Lietuviškai-vokiškas žodynas" (su Karlu Fulstu, Alfonsu Scholzu ir Jurgiu Talmantu, 1970 m., kitas fotografuotas leidimas – 1992 m.).

Periodikoje: "Šaltinyje" (1933–1938 m.), "Misijose" (1939–1940 m.), "Drauge" ir kitur jis paskelbė pedagoginių ir publicistinių poleminių straipsnių.

Senatvėje, sulaukęs Lietuvos Nepriklausomybės, J. Paškevičius aplankė tėviškę Andrioniškį.

Mirė 1996 m. sausio 26 d. Pitsburge (Pensilvanijos valstija, JAV).

Paškevičių giminės atminimui Andrioniškio bibliotekoje 2013 m. įrengta memorialinė ekspozicija.