1950–1951 m. mokėsi Svėdasų (Anykščių r.) vidurinėje mokykloje. Tėvams persikėlus, nuo 1951 m. augo Kupiškio rajone, 1951–1961 m. baigė Subačiaus (Kupiškio r.) vidurinę mokyklą. 1961–1966 m. studijavo Vilniaus universiteto Istorijos-filologijos fakultete klasikinę filologiją, įgijo filologinį išsilavinimą.

1966–2009 m. D. Staškevičienė dirbo Vilniaus universiteto Filologijos fakulteto Klasikinės filologijos katedroje dėstytoja, nuo 1989 m. buvo docentė. 1999–2000 m. D. Staškevičienė buvo Klasikinės filologijos katedros vedėja.

1970–1975 m. ji studijavo Vilniaus universiteto aspirantūroje. 1989 m. Maskvos (Rusija) M. Lomonosovo universitete D. Staškevičienė apsigynė disertaciją "Albijaus Tibulo elegijų meninis pasaulis", buvo filologijos mokslų kandidatė, 1993 m. nostrifikuota humanitarinių mokslų, filologijos daktarė.

1994 m. ji stažavosi Hardto fonde Šveicarijoje, 2001 m. – Paryžiuje (Prancūzija).

Nuo 2007 m. D. Staškevičienė yra Lietuvių literatūros ir tautosakos instituto Senosios literatūros skyriaus vyresnioji mokslo darbuotoja. Jos mokslinių interesų sritys – senoji Lietuvos literatūra, antikinė literatūra, vertimo teorija ir praktika.

D. Staškevičienė parengė ir išleido mokslinių ir mokslo populiarinimo knygų apie Antikos kultūrą ir Lietuvos kultūros istoriją, vadovėlių, pasakų rinkinių.

D. Staškevičienės parengtos ir išleistos knygos:

1989 m. –  "Antikinės komedijos" (rinkinio sudarytoja).

1990 m. – "Visuotinė literatūra : mokomoji knyga X–XI klasei" (su Elena Kuosaite-Jašinskiene ir Gvidonu Bartkumi, vadovėlis vidurinėms mokykloms, kiti leidimai: 1991, 1995 m., Brailio raštu – 1991 m.).

1991 m. – "Antikos pedagogai" (žinyno sudarytoja).

1992 m. – "Romėnų literatūros chrestomatija" (rinkinio sudarytoja, kitas leidimas – 2008 m.).

1994 m. – "Heladės šviesa" (mokslo populiarinimo leidinys, vertimas į estų kalbą "Hellase valgus" – 1996 m., kitas leidimas – 2012 m.).

1997 m. – "Antikinė literatūra" (vadovėlis studentams humanitarams, kiti leidimai: 1999, 2005 m.).

1998 m. – "Amžinoji Roma" (mokslo populiarinimo leidinys).

2001 m. – "Atrium : Scientiarum antiquarum et novarum" (lotynų kalbos skaitiniai).

2003 m. –  "Antikinė literatūra" (rusų kalba, monografija).

2005 m. – "Kristijonas Donelaitis ir Antika" (monografija).

2007 m. – "Senovės Graikijos kultūra" (vadovėlis studentams humanitarams).

2008 m. – "Graikų literatūros chrestomatija" (rinkinio sudarytoja).

2009 m. – "Skaitome romėnus" (monografija).

2010 m. – "Senelės pasakos : pakvieskime saldų miegelį kartu" (pasakų rinkinys mažiesiems).

2012 m. – "Senovės Romos kultūra" (monografija), "Pasakos apie Lietuvos istoriją" (pasakų rinkinys).

2014 m. – "Kristijono Donelaičio pasakėčios" (monografija).

2015 m. – "Pasakos apie traktorių" (pasakų rinkinys mažiesiems).

2019 m. – "Alberto Vijūko-Kojalavičiaus "Lietuvos istorija" : poetikos bruožai" (monografija).

2023 m. – "Kristijono Donelaičio kūrybos ir jos sklaidos atodangos" (monografija), "Senovės Graikijos išminčiai" (populiarioji istorija paaugliams).

Nuo 1972 m. D. Staškevičienė verčia iš lotynų kalbos. Ji išvertė ir išleido Antikos ir vėlesnių laikų kūrinius.

D. Staškevičienės vertimų leidiniai:

1972 m. – Publijaus Kornelijaus Tacito "Analai" (publikuota "Rinktinių raštų" leidinyje, atskiras leidinys – 2005 m.).

1986 m. – Lucijaus Anėjaus Senekos "Laiškai Lucilijui" (kiti leidimai: 1999, 2005, 2009, 2011 m.).

1993 m. – Albijaus Tibulo "Elegijos".

1997 m. – L. A. Senekos "Diatribės", L. A. Senekos "Apie sielos ramybę" (kiti leidimai: 2007, 2009 m.).

2002 m. – L. A. Senekos "Gamtos klausimai".

2007 m. – Petro Roizijaus "Lietuvos sprendimai. 1563 m.".

2010 m. – L. A. Senekos "Apie pyktį : sielos vaistų receptai iš praeities".

2011 m. – L. A. Senekos "Apie geradarystes : gera darymo meno pagrindai", L. A. Senekos "Apie tai, kas svarbiausia. Pašnekesiai".

D. Staškevičienė buvo viena iš rinkinio "Vilniaus pasveikinimas. Gratulatio Vilnae : XVI–XVIII amžiaus tekstų rinkinys" vertėjų (2001 m.), "Antikos žodyno" (vertimas iš vokiečių kalbos, 1998 m.) atsakingoji redaktorė. Ji taip pat išvertė Marko Tulijaus Cicerono, K. Septimijaus Florento Tertuliano, Jono Škoto Eriugenos, Erazmo Roterdamiečio Deziderijaus, Martino Lutherio, P. Melanchthono, Miguelio Serveto, Isaaco Newtono, Francio Bacono, Thomo Hobbeso, Barucho Spinozos, Gottfriedo Wilhelmo von Leibnizo, Alexandro Gotliebo Baumgarteno filosofinių ir teologinių veikalų bei jų ištraukų.

Ji aktyviai bendradarbiauja laikraščiuose ir žurnaluose "Šiaurės Atėnai", "Literatūra ir menas", "Gimtasis žodis", "Naujasis židinys", juose ir kitur paskelbė daug straipsnių apie Antikos literatūrą ir kultūrą, jos recepciją lietuvių literatūroje.

Ji yra Lietuvos literatūros vertėjų sąjungos valdybos narė.

Už Antikos kultūros sklaidą šalyje D. Staškevičienė 2006 metais buvo nominuota kaip pretendentė į Nacionalinę Kultūros pažangos premiją, jai skirta Lietuvos Vyriausybės kultūros ir meno premija (2011 m.) ir prestižinė vertėjų Šv. Jeronimo premija (2014 m.). Už monografiją "Kristijono Donelaičio pasakėčios" ji  buvo apdovanota Lietuvos kultūros ministerijos Martyno Mažvydo premija už nuopelnus Lietuvos valstybės kalbai, raštijos istorijai ir knygos menui (2014 m.). Už darbų ciklą "Kristijono Donelaičio tyrimai (2001–2015 m.)" jai skirta Lietuvos mokslo premija (2016 m.).

Ji yra Kupiškio rajono Subačiaus vidurinės mokyklos Garbės galerijos narė (nuo 2006 m.), apdovanota Lietuvos genealogijos ir heraldikos draugijos vardiniu auksiniu ženklu "Už svarų indėlį populiarinant genealogiją ir heraldiką Lietuvoje" (2019 m.).

Sukurtas dokumentinis filmas "Lietuvos mokslininkai. Filologė Dalila Dilytė" (režisierius Justinas Lingys, 2022 m.).

Laisvalaikiu mėgsta važinėti dviračiu, dirbti darže, auginti gėles.

Ištekėjusi, vyras Augustas Staškevičius (g. 1944 m.) – informatikas. Sūnūs: Ignas Staškevičius-Dilys (g. 1970 m.) – verslininkas, vienas iš "Maxima" prekybos sistemos kūrėjų, Giedrius Staškevičius (g. 1977 m.) – ekonomistas informatikas.