1948 m. baigė Gudelių (Anykščių r.) pradinę mokyklą, 1948–1952 m. mokėsi Troškūnų (Anykščių r.) vidurinėje mokykloje, kur baigė 8 klases. 1952–1956 m. toliau mokėsi Panevėžio muzikos technikume, dėstytojo J. Narsučio trombono klasėje, įgijo pučiamųjų instrumentų orkestro artisto ir vadovo specialybę.

1956–1957 m. J. Z. Bernadišius buvo Joniškėlio (Pasvalio r.) kultūros namų meno vadovas, moterų ansamblio vadovas ir pučiamųjų orkestro dirigentas.

1957–1962 m. jis studijavo muziką Vilniaus pedagoginiame institute, kur diriguoti jį mokė Juozas Karosas ir Antanas Lopas. Studijuodamas dirbo mokytoju Naujųjų Verkių aštuonmetėje mokykloje, vadovavo Vilniaus S. Nėries vidurinės mokyklos pučiamųjų orkestrui, grojo Vilniaus pedagoginio instituto pučiamųjų orkestre. 1958–1961 m. jis vadovavo Vilniaus statybos technikumo pučiamųjų orkestrui.

Nuo 1962 m. iki gyvenimo pabaigos J. Z. Bernadišius gyveno Kėdainiuose, kur buvo pirmasis muzikos mokytojo išsilavinimą turėjęs pedagogas.

1962–1979 m. J. Z. Bernadišius buvo Kėdainių 1-osios vidurinės mokyklos (dabar – Juozo Paukštelio gimnazija) muzikos ir dainavimo mokytojas, vaikų ir vyresniųjų klasių moksleivių chorų bei vokalinių ansamblių vadovas. Jaunių chorą (60–80 dalyvių) jis parengė 1964, 1965, 1970, 1975 ir 1977 m. respublikinėms dainų šventėms, o vokalinius ansamblius ir solistus – "Dainų dainelės" konkursams.

1962–2015 m. jis buvo Kėdainių vaikų muzikos mokyklos pučiamųjų instrumentų mokytojas, nuo 1979 m. – šios mokyklos skyriaus vedėjas ir orkestro vadovas. Jis parengė orkestrą 1987 m. respublikinei moksleivių dainų šventei Vilniuje. Nuo 2014 m. jis buvo vyriausias Kėdainių rajono mokyklose dirbęs mokytojas.

Apie 1980–1990 m. jis buvo ir Kėdainių 2-osios vidurinės mokyklos (dabar – Kėdainių "Atžalyno" gimnazija) muzikos mokytojas.

J. Z. Bernadišius buvo Kėdainių rajono dainų švenčių vyriausiasis dirigentas, 1969–1979 m. – šio rajono muzikos mokytojų metodinės komisijos pirmininkas.

Be pedagoginio darbo J. Z. Bernadišius 1965–1985 m. vadovavo Kėdainių chemijos gamyklos moterų ir vyrų vokaliniams ansambliams, kurie pelnė pirmųjų ir kitų prizinių vietų "Sidabrinių balsų" konkursuose, nemažai koncertavo. 1967–1978 m. jis buvo Lietuvos hidromelioracijos mokslinio tyrimo instituto moterų vokalinio ansamblio vadovas. Kolektyvas koncertavo Lietuvoje, Minske (Baltarusija), Kišiniove (Moldova), Smolenske, Leningrade (dabar – Sankt Peterburgas) ir Maskvoje (Rusija).

1992–2000 m. J. Z. Bernadišius dirbo Kėdainių Šv. Juozapo bažnyčios vargonininku, buvo vaikų ir mišriojo choro vadovas.

1992 m. jis subūrė sakralinės muzikos vokalinį ansamblį "Giesmė" ir nuo to laiko iki gyvenimo pabaigos buvo jo vadovas. Nuo 2007 m. "Giesmė" buvo Kėdainių kultūros centro kolektyvas – sakralinės muzikos ansamblis. 2016 m. kolektyvas surengė 500-ąjį savo koncertą, paminėdamas jo vadovo muzikinės veiklos 60-metį.

Šis kolektyvas giedojo Jonavos, Želvos (Ukmergės r.), Šiluvos (Raseinių r.), Telšių, Kauno ir kitose bažnyčiose. "Giesmė" surengė per 500 koncertų Kėdainių rajone ir visoje šalyje. Lietuvos liaudies kultūros centras, atsižvelgęs į šio kolektyvo meninį lygį, veiklą ir rezultatus, vokaliniam sakralinės muzikos ansambliui "Giesmė" suteikė pirmąją kategoriją.

Ji buvo apdovanotas Lietuvos SSR liaudies švietimo pirmūno ženkleliu (1970 m.), Kėdainių krašto kultūros premija (2009 m.).

J. Z. Bernadišiaus biografija publikuota Boleslovo Zubricko enciklopediniame žinyne "Pasaulio Lietuvių chorvedžiai" (1999 m.).

Laisvalaikiu mėgo keliauti internetu, pažindamas nematytus kraštus.

Buvo vedęs, žmona Milda Marija Kavaliauskaitė-Bernadišienė (1942–2023) – pedagogė anglų kalbos mokytoja. Vaikai: Vaiga Bernadišiūtė ir Darius Bernadišius. Sulaukė anūkų.

Mirė 2022 m. sausio 6 d. Kėdainiuose. Palaidotas Kėdainių Kauno gatvės kapinėse (5 kvartalas, 123 kapavietė) šeimos kape. Kapą ženklina dviejų pilko šlifuoto akmens paminklinių stelų kompozicija, kurioje iškalti įrašai: kairiojoje steloje – "Bernadišiai / Jonas Zenonas / 1935–2022 / Milda Marija / 1942–2023", dešiniojoje – "Kavaliauskai / Kazimieras 1915–1986 / Katrutė 1920–2000".