Tėvai: Jonas Alekna ir Pranciška Graužinytė-Aleknienė – žemdirbiai ūkininkai. Brolis Jonas Alekna (1882–1939) – kunigas.

1891 m. kovo 26 d. Skiemonių bažnyčioje jį pakrikštijo kunigas Vincentas Tamošiūnas, krikštatėviais buvo kunigas filialistas Mykolas Vėžys ir Monika Putnienė, Karolio Putnos žmona, dalyvaujant Justinui Aleknai ir Stanislavai Vėžytei.

1923–1936 m. K. Alekna buvo Ukmergės miškų urėdijos Žemaitkiemio, Šešuolių ir Giedraičių girininkijų III eilės girininkas.

Buvo vedęs, žmona Elena Aleknienė. Augino dukterį.

Mirė 1936 m. liepos 10 d. – nusišovė. Palaidotas Pusnės (Molėtų r.) kapinėse (1 kvartalas, 34 kapavietė). Kapą ženklina betono teraco paminklas su iškaltu-dažytu įrašu: "A+A / Alekna Klemensas / Aleknienė Elena / Liūdi dukra su šeima".

K. Aleknos veikla ir likimas pristatyti biografinio žinyno "Lietuvos miškininkai" I tome (sudarytojas Gediminas Isokas, 1997 m.).