Tėvai: Jonas Morkūnas ir Ona Baltakytė-Morkūnienė – žemdirbiai ūkininkai.

1945 m. pavasarį J. Morkūnas išėjo partizanauti, 1944 m. rudenį buvo vienas iš pirmųjų partizaninės kovos organizatorių Vyžuonų (Utenos r.) apylinkėse.

Nuo 1946 m. pavasario J. Morkūnas-Viesulas buvo Vytauto apygardos Liūto rinktinės Šmėklos būrio vadas, tais pačiais metais, žuvus Beržo kuopos vadui, paskirtas ir Beržo kuopos vadu, šias pareigas ėjo 1946–1947 m.

1947 m. liepą jis buvo paskirtas Vytauto apygardos Liūto rinktinės vadu vietoje Vytauto apygardos vadu tapusio Vinco Kaulinio-Miškinio ir šias pareigas ėjo 1947–1949 m., iki gyvenimo pabaigos. 1949 m. pavasarį žuvus apygardos vadui V. Kauliniui-Miškiniui, J. Morkūnui buvo siūloma užimti apygardos vado pareigas, bet jis jų atsisakė ir į jas pasiūlė savo pavaduotoją Bronių Kalytį-Siaubą.

Žuvo 1949 m. rugsėjo 28 d. Papiškių kaime (Utenos r.) kartu su kitais šešiais partizanais, MGB vidaus kariuomenės 137-ojo šaulių pulko kareiviams kartu su vietiniais stribais apsupus išduotą Liūto rinktinės štabą. Kartu žuvo Liūto rinktinės Ūkio skyriaus viršininkas Balys Jakštonis-Trockis, Ąžuolo kuopos vadas Vladas Patumsis-Aukštaitis, Erškėčio kuopos Viesulo būrio vadas Silvestras Urbonas-Lapinas, Beržo kuopos Vyčio būrio vadas Jonas Karvelis-Klajūnas ir šio būrio partizanai Povilas Bražionis-Aidas, Antanas Polevičius-Zomeris ir Juozas Šutinys-Paleckis, išsigelbėjo tik Mykolas Urbonas-Liepa. Palaikai buvo užkasti Utenoje prie Dauniškio ežero.