Tėvai: Jonas Šeštokas ir Juzefa Augulytė-Šeštokienė – žemdirbiai ūkininkai. Broliai ir sesuo: Kazimieras Šeštokas (1905–?) ir Vladislovas Šeštokas (1906–?), sesuo Ona Šeštokaitė-Uselienė (1910–?).

Baigė Kavarsko (Anykščių r.) pradžios mokyklą, 1925 m. – Raguvos (Panevėžio r.) progimnaziją, 1925–1927 m. – Lietuvos mokytojų sąjungos dvimečius Ukmergės mokytojų kursus, 1927–1930 m. – Panevėžio mokytojų seminariją.

Mobilizuotas 1930 lapkričio 4 d., A. Šeštokas atliko privalomąją karinę tarnybą Lietuvos kariuomenėje 5-ajame pėstininkų Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Kęstučio pulke, paskui mokėsi Karo mokykloje Kaune, ją baigė 1931 m. spalio 29 d. 6-ojoje aspirantų laidoje. Gavęs pėstininkų jaunesniojo leitenanto karinį laipsnį, jis buvo paleistas į karininkų atsargą. 1937 m. jam buvo suteiktas atsargos leitenanto karinis laipsnis.

1932–1933 m. jis dirbo Panošiškių (Trakų r.) pradžios mokykloje mokytoju, nuo 1932 m. rudens buvo Panošiškių pradžios mokyklos Gervinių komplekto mokytojas, įsteigė šiame kaime ir kursus suaugusiesiems, kuriuos lankė 36 klausytojai.

Perkeltas 1933 m. gruodį, 1933–1939 m. jis buvo Kietaviškių (Elektrėnų sav.) pradžios mokyklos vedėjas.

Jis buvo Kietaviškių jaunųjų ūkininkų ratelio vedėjas, jo suburtas ratelis tapo vienu geriausių Lietuvoje, dažnai laimėdavo įvairias premijas. Jis domėjosi kraštotyros veikla, 1936 m. birželį užrašė Girelės kaimo, 1937 m. rugpjūtį – Karveliškių viensėdžio ir kitų dabartinio Kaišiadorių rajono vietovių vietovardžius.

1939–1943 m. A. Šeštokas studijavo Lietuvos žemės ūkio akademijoje Dotnuvoje (Kėdainių r.), įgijo agronomo išsilavinimą.

1943–1944 m. jis dirbo Žemės ūkio departamente Kaune.

1944 m. A. Šeštokas pasitraukė į Vokietiją, tęsė studijas ir 1947 m. Bonos (Vokietija) universitete apsigynė agronomijos daktaro disertaciją iš pievų ir žalienų auginimo.

1949 m. jis persikėlė į JAV, įsikūrė Čikagoje (Ilinojaus valstija). Baigęs braižytojų kursus, jis dirbo inžinerijos įmonėje.

A. Šeštokas buvo JAV lietuvių bendruomenės ir Lietuvių agronomų sąjungos narys, organizavo leidybinę veiklą – išleido Vytauto Alanto romaną "Liepkalnio sodyba" (1977 m.) bei "Lietuvos žemės ūkio akademijos istoriją". Jo iniciatyva buvo įsteigta Lietuvos agronomų sąjungos stipendija žemės ūkio specialybes studijuojantiems studentams.

Jis fotografuodavo Lietuvių agronomų sąjungos kultūrinius ir socialinius įvykius, buvo Trečiojo pasaulio jaunimo kongreso Pietų Amerikoje fotografas. Jo nuotraukas publikavo JAV lietuvių laikraščiai "Dirva" ir "Draugas". Jis sukaupė turtingą fotonuotraukų rinkinį, atspindintį lietuvių išeivių veiklą. Šis rinkinys saugomas lietuvių archyve Čikagoje.

Bendradarbiaudamas spaudoje, jis publikavo rašinius "Margučio" radijo kultūriniame priede "Pelkių žiburėlis".

A. Šeštokas parašė ir išleido knygą "Sodybų pievelės : žolės, žemė, įrengimas, trąšos, tręšimas, priežiūra" (1966 m.).

Nepriklausomoje Lietuvoje A. Šeštokas buvo šaulys, Lietuvos šaulių sąjungos Panošiškių šaulių būrio (1932–1933 m.) ir Žilinų šaulių kuopos (1933–1939 m.) narys. Gyvendamas JAV, jis buvo korporacijos "Jaunoji Lietuva" filisteris, Lietuvių tautinės sąjungos narys, Lietuvių fondo narys.

A. Šeštokas buvo apdovanotas Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino 5-ojo laipsnio ordinu (1938 m.).

Laisvalaikiu fotografuodavo.

Šeimos nesukūrė.

Mirė 1979 m. spalio 14 d. Čikagoje (JAV). Palaidotas Čikagos lietuvių kapinėse.

A. Šeštoko biografija pateikta enciklopedinio žinyno "Lietuvos kariuomenės karininkai : 1918–1953" 7-ajame tome (2007 m.).