Tėvai: Jonas Strazdas (?–1911) – arbatos fabriko tiekėjas ir Marija Pševluckaitė-Strazdienė iš Teresboro – akušerė.

Tėvui anksti mirus, augo su motina Sankt Peterburge (Rusija). Vaikystėje susižavėjo smuiko muzika, pradėjo mokytis griežti pas Sankt Peterburgo konservatorijos profesoriaus Leopoldo Auerio asistentę Mariją Gamoreckają.

Po Spalio revoliucijos 1918 m. motina su dviem vaikais pabėgo nuo represijų grėsmės į Krymą, vėliau pateko į Rumuniją, Lenkiją. E. Strazdaitė savarankiškai mokėsi smuikuoti ir koncertuodavo už maistą.

1919 m. šeima atvyko į Lietuvą ir apsigyveno Kaune, E. Strazdaitė pradėjo lankyti "Aušros" gimnaziją ir pedagogės A. Kirchner smuiko klasę.

1921 m. Kaune E. Strazdaitė surengė pirmąjį solinį koncertą Kauno inteligentijai ir išgarsėjo kaip smuiko virtuozė. Ją pastebėjęs Juozas Tumas-Vaižgantas pakvietė groti į Vytauto bažnyčią, o vėliau išrūpino valstybinę stipendiją studijoms.

1921–1922 m. E. Strazdaitė studijavo Berlyno (Vokietija) Sterno aukštesniojoje muzikos mokykloje pas M. Jakobseną, dar privačiai mokėsi pas G. Kulenkampffą, tačiau studijomis nebuvo patenkinta.

1922–1924 m. ji buvo Prahos (Čekija) konservatorijos laisvoji klausytoja, 1924–1928 m. su pilna (250 litų) valstybės stipendija studijavo šioje konservatorijoje pas profesorių O. Marjką.

Jam mirus, E. Strazdaitė 1928–1932 m. tęsė studijas Paryžiuje, Rusų konservatorijoje pas I. Kamenskį, taip pat grojo moterų styginių instrumentų trio. Studijuodama ji koncertavo Varšuvoje (Lenkija), Berlyne (Vokietija), Paryžiuje (Prancūzija), Londone (Didžioji Britanija).

1932 m. ji grįžo į Prahą ir 1932–1934 m. baigė Prahos konservatoriją pas J. Feldą, įgijo smuikininkės išsilavinimą su prestižiniu "Absoliutorium" diplomu.

1934 m. grįžusi į Lietuvą, E. Strazdaitė dar ruošėsi stažuotei Džiuljardo mokykloje Niujorke (JAV), tačiau sukūrė šeimą ir ten nebeišvyko. Ji intensyviai koncertavo kaip kamerinės muzikos atlikėja bei Radiofono orkestro narė Lietuvos bažnyčiose, važinėjo su soline koncertine programa po miestus ir miestelius, propaguodama smuiko muziką. Ji taip pat įrašė garso įrašų plokšteles su klasikos melodijomis, dėstė Kauno konservatorijoje.

XX a. 4-ajame dešimtmetyje E. Strazdaitė-Bekerienė buvo pripažinta ryškiausia Lietuvos smuikininke.

1935 m. ji gastroliavo Jugoslavijoje, kur surengė 7 koncertus. Suplanuotoms smuikininkės gastrolėms į JAV sukliudė prasidėjęs Antrasis pasaulinis karas.

Po Antrojo pasaulinio karo E. Bekerienė dėl Vakaruose įgyto išsilavinimo negavo darbo Vilniaus konservatorijoje. Nuo 1946 m. daugiau nei 40 metų ji dirbo Vilniaus J. Tallat-Kelpšos aukštesniojoje muzikos mokykloje, vėliau M. K. Čiurlionio menų mokykloje smuiko mokytoja. Savo ilgą studijų, solinę, kamerinę, orkestrinę patirtį ji panaudojo, ugdydama jauniausios kartos smuikininkus, – keli šimtai jos mokinių pasklido po visą pasaulį.

E. Bekerienė apdovanota Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino ordinu (iki 1940 m., prezidento Antano Smetonos teikimu), Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino ordino Riterio kryžiumi (1998 m.).

Laisvalaikiu ilsėdavosi motinos gimtinėje Anykščių krašte.

Ištekėjo apie 1935 m., vyras Povilas Bekeris (1910–1984) – muzikantas ir orkestro dirigentas. Liko našlė. Dukterys: Gabrielė Bekerytė – pedagogė, Agnietė Rafaelė Bekerytė-Švėgždienė – dailininkė. Anūkas Martynas Švėgžda von Bekkeris (g. 1967 m.) – muzikantas smuikininkas, tarptautinių konkursų laureatas. E. Bekerienė buvo jo pirmoji smuiko mokytoja, pradėjusi smuiko pamokas nuo 5-erių metų.

Mirė 2004 m. lapkričio 6 d. Vilniuje. Palaidota Vilniaus Antakalnio kapinėse šeimos kape (19 sektorius). Kapą ženklina rusvo šlifuoto akmens luitų kompozicija – stilizuotas gulintis kryžius, šalia dvi luitinės stelos su iškaltais įrašais: "Elena / Strazdaitė / Bekerienė / 1910–2004" ir "Povilas / Bekeris / 1910–1984".