Tėvai: Jonas Gaižauskas ir Anelė Kavoliūnaitė-Gaižauskienė.

1919 m. sausio 18 d. Troškūnų bažnyčioje jį pakrikštijo klebonas Antanas Pauliukas, krikštatėviai buvo Antanas Kavoliūnas ir Antanina Staškevičiūtė.

1938 m. baigė Biržų gimnaziją. Nuo 1938 m. studijavo Dotnuvos žemės ūkio akademijoje, kurią baigęs įgijo agronomo išsilavinimą.

1943–1944 m. B. Gaižauskas dirbo Marijampolės fabriko "Linas" direktoriumi.

1944 m. jis pasitraukė į Vakarus, gyveno Austrijoje, vėliau persikėlė į Vokietiją, apsistojo Kempteno lietuvių pabėgėlių stovykloje. Čia B. Gaižauskas dirbo UNRRA (Jungtinių Tautų pagalbos ir atstatymo administracijoje) ir IRO (Tarptautinėje pabėgėlių organizacijoje). Jis taip pat dainavo Petro Armono suburtame ansamblyje Kemptene.

1949 m. B. Gaižauskas išvyko į JAV, 1949–1951 m. gyveno Filadelfijoje (Philadelphia, Pensilvanijos valstija).

1951 m. jis įsikūrė Čikagoje (Ilinojaus valstija), dirbo fabrike, baigė vakarinę inžinerinę mokyklą, įgijo inžinieriaus išsilavinimą. 1952–1966 m. jis buvo Čikagos bendrovės "Pyle-National" (elektros ir elektroninės įrangos gamyba) braižytojas, projektuotojas, 1966–1981 m. dirbo šios įmonės inžinerinio skyriaus vadybininku, kol išėjo į pensiją.

Nuo 1981 m. iki gyvenimo pabaigos B. Gaižauskas buvo įsikūręs St. Petersburge (St. Petersburg Beach, Floridos valstija).

B. Gaižauskas dalyvavo JAV Lietuvių bendruomenės, Lietuvių fondo ir Baltijos Amerikos Lietuvių fondo St. Petersburgo skyriaus veikloje.

Jis priklausė St. Petersburgo Amerikos Lietuvių klubui, buvo jo biuletenio "Lietuvių žinios" redakcinės kolegijos narys. Jis taip pat buvo Alberto Mateikos Lietuvių klube suburto okteto dainininkas, šoko Lietuvių bendruomenės Floridos apygardos tautinių šokių grupėje "Audra".

Mirė 1994 m. birželio 8 d. St. Petersburg Beach (Floridos valstija, JAV). Palaidotas S. Petersburgo Memorial Park Cemetery kapinėse.