Tėvai: Dominykas Styra (apie 1867 – apie 1936) iš Viešintų ir Teofilė Gailiūnaitė-Styrienė (1884–1973) iš Zablackų. Brolis Steponas Styra (1915–1989) – emigrantas Kanadoje, seserys Vladislava Styraitė-Mickūnaitienė (1920–1979) ir Adelė Styraitė-Jančienė (1927–1992).

Mokėsi Kupiškio vidurinėje mokykloje, 1938 m. baigė 6 klases Panevėžio berniukų gimnazijoje.

1938 m. liepos 5 d. M. Styra buvo mobilizuotas į karinę tarnybą Lietuvos kariuomenėje. 1939–1940 m. jis baigė Lietuvos karo mokyklą Kaune 15-ojoje aspirantų laidoje, bet pirmosios sovietinės okupacijos pradžioje karininko karinio laipsnio dėl politinių motyvų nebegavo, iškart buvo paleistas iš kariuomenės į atsargą. Mokydamasis jis aktyviai sportavo, 1938 m. buvo Pirmosios lietuvių tautinės olimpiados dalyvis lengvosios atletikos rungtyse, 800 m nubėgo per 2 min. 8 sek.

1940–1943 m. M. Styra baigė Šiaulių mokytojų seminariją ir fizinio lavinimo kursus, įgijo pedagoginį išsilavinimą.

Nuo 1943 m. iki gyvenimo pabaigos M. Styra gyveno ir dirbo Biržų krašte.

1943–1944 m. jis buvo Biržų pradinės mokyklos mokytojas, 1944–1945 m. – Vaitkūnų (Biržų r.) pradinės mokyklos vedėjas.

1945 m. lapkričio 14 d. M. Styra patyrė sovietines represijas – buvo suimtas ir įkalintas Biržuose. 1946 m. vasario 4 d. jis buvo paleistas ir tęsė pedagoginį darbą.

1946–1984 m. jis dirbo Biržų "Saulės" gimnazijoje, po Antrojo pasaulinio karo pertvarkytoje į J. Janonio vidurinę mokyklą, fizinio lavinimo mokytoju, buvo lengvosios atletikos treneris. 1946–1958 m. jis buvo ir Biržų rajono kūno kultūros mokytojų būrelio pirmininkas.

M. Styros iniciatyva XX a. viduryje Biržuose kilo jaunimo sportinis sąjūdis, populiarėjo įvairios sporto šakos – krepšinis, futbolas, lengvoji atletika. 1943 m., kai į Biržus grįžo Kaune uždaryto universiteto studentai, M. Styra subūrė "Vilko" krepšinio komandą, 1943–1944 m. buvo "Vilko" sporto klubo  vadovas, komandos treneris ir iždininkas. 1943 m. Biržuose "Vilkas" laimėjo prieš stipriausią Kauno krepšinio komandą "Perkūnas" ir tapo neoficialiais Lietuvos krepšinio čempionais.

Pokario metais M. Styra vadovavo Biržų apskrities moksleivių rinktinei, kuri tapo I Lietuvos moksleivių spartakiados (1946 m.) nugalėtoja, laimėjo antrąją vietą II spartakiadoje (1947 m.) ir trečiąją vietą III spartakiadoje (1948 m.). Jo treniruojami Biržų moksleiviai tapo Lietuvos kompleksinių varžybų (1961 m.) antrosios vietos laimėtojais. 

Laisvalaikiu M. Styra žaidė šachmatais, buvo Biržų šachmatininkų komandos narys, kartu su ja dalyvavo 1948 m. Lietuvos pirmenybėse. 1950 m. įsteigus Biržų miesto šachmatų sekciją, M. Styra buvo išrinktas jos valdybos nariu, pirmininko pavaduotoju. 1960 m. Biržuose surengtame simultane su tarptautiniu didmeistriu Vladu Mikėnu iš 35 varžovų M. Styra vienintelis laimėjo savo partiją.

Mirė 1997 m. birželio 16 d. Biržuose.

M. Styros biografija pateikta enciklopedinio žinyno "Lietuvos kariuomenės karininkai : 1918–1953" 7-ajame tome (2007 m.).