Motina Stasė Bilienė (1948–2012) – pedagogė, literatė poetė.

1971–1977 m. mokėsi Troškūnų (Anykščių r.) vidurinėje mokykloje, 1977–1983 m. baigė Jonavos 1-ąją vidurinę mokyklą.

Mokykliniais metais jis susidomėjo boksu, lankė bokso treniruotes Jonavos sporto mokykloje, pirmasis jo treneris buvo V. Gudas, vėliau jį treniravo H. Petkevičius. 1980 m. R. Bilius tapo pirmuoju Jonavos sporto mokyklos auklėtiniu – sporto meistru.

Jis laimėjo 2-ąją vietą XVI sąjunginės moksleivių spartakiados bokso varžybose (1981 m.), tapo Lietuvos jaunių čempionu (1981 m.), SSRS jaunių čempionu (1981 m.) ir SSRS jaunimo čempionu (1984 m.).

Tęsdamas sportininko boksininko karjerą, R. Bilius tapo SSRS studentų žaidynių nugalėtoju (1984 m.), buvo Lietuvos bokso čempionas (1984 m. – 51 kg svorio kategorijoje, 1989 m. – 57 kg svorio kategorijoje), iškovojo SSRS bokso čempionato sidabro (1985 m.) ir bronzos (1986 m.) medalius, Geros valios žaidynių sidabro medalį (1986 m.), tapo Baltijos šalių bokso čempionato nugalėtoju (1990 m.).

Mėgėjų bokso ringe R. Bilius dalyvavo 245 kovose, iš jų 227 laimėjo ir tik 18 kartų patyrė pralaimėjimus.

1989–1995 m. jis neakivaizdžiai studijavo Lietuvos kūno kultūros institute, studijuodamas nuo 1991 m. pasirinko boksininko profesionalo karjerą.

R. Bilius 1991 m. jis pasirašė sutartį su Rygoje įsteigtu profesionalų boksininkų klubu "Gulfstream Gloves" ir nuo to laiko yra pirmasis Nepriklausomos Lietuvos boksininkas profesionalas. 1997 m. jis sudarė sutartį su Bulgarijos profesionalaus bokso federacija ir gavo boksininko licenciją. Jis taip pat atstovavo Rusijos ir Prancūzijos profesionalų bokso klubams.

Jis tapo SSRS (1991 m.) ir Rusijos (1992 m.) profesionalų bokso čempionu 58,9 kg svorio kategorijoje, buvo Europos profesionalų bokso vicečempionas (59 kg svorio kategorija, 1994 m.). R. Bilius buvo IBF ir WBO tarpkontinentinės taurės profesionalų bokso finalininkas (63,5 kg svorio kategorija, 1997 m.), Europos profesionalų bokso varžybų finalininkas, NVS šalių profesionalų bokso čempionas.

Europos boksininkų profesionalų reitinge R. Bilius buvo šeštas (1993 m.), o pagal Europos bokso sąjungos reitingą – trečias (1993 m.).

1997 m. iš septynių profesionalų kovų jis laimėjo tris. 1998 m. jis du kartus varžėsi dėl WBO pasaulio čempiono diržo. Iš viso profesionalų ringe jis varžėsi 40 kovų, iš jų 30 laimėjo.

Nuo 1997 m. iki šiol R. Bilius gyvena Kaune ir yra Vidaus reikalų ministerijos I pulko instruktorius. Jis buvo Savanoriškos krašto apsaugos tarnybos treneris.

Jis yra Lietuvos bokso federacijos narys.

Jo biografija skelbiama Lietuvos sporto enciklopedijoje.

Laisvalaikiu sportuoja, yra bėgimo mėgėjas.

Vedęs, žmona Rima Bilienė (g. 1965 m.).