Tėvas Petras Leškevičius žuvo Pirmajame pasauliniame kare. Nuo 1917 m. su motina ir dviem broliais gyveno Marijampolėje, kur lankė mokyklą, o ją baigęs tarnavo Lietuvos kariuomenėje.

1924–1930 m. Klaipėdos muzikos mokykloje-konservatorijoje mokėsi groti valtorna ir muzikos pedagogikos. Grojo mokyklos simfoniniame orkestre, koncertavusiame Klaipėdoje, Palangoje ir kitur.

1930–1931 m. Z. Leškevičius grojo valtorna Valstybės teatro simfoniniame orkestre Kaune. 1931–1935 m. jis dirbo mokytoju Eržvilke (Jurbarko r.) ir vadovavo chorams bei orkestrams. 1935–1942 m. buvo Švėkšnos (Šilutės r.) gimnazijos muzikos mokytojas ir chorų vadovas, 1942–1943 m. mokytojavo Šilalės gimnazijoje.

1943–1948 m. Z. Leškevičius gyveno Anykščiuose ir buvo Anykščių gimnazijos muzikos ir dainavimo mokytojas, chorų ir vokalinių ansamblių vadovas. Anykščių gimnazijoje jo mokinėmis, dainavusiomis chore, buvo dainininkė Stasė Repečkaitė ir pianistė Gražina Ručytė-Landsbergienė. Nuo 1948 m. gruodžio 1 d. iš Anykščių gimnazijos mokytojo pareigų jis buvo atleistas, gavus Švietimo ministerijos įsakymą.

1948–1949 m. Z. Leškevičius dirbo Ukmergės mokytojų seminarijoje, po jos pertvarkymo 1949–1956 m. – Ukmergės Vlado Žvirblio pedagoginėje mokykloje muzikos dėstytoju ir merginų choro vadovu. 1950 m. rugsėjį–gruodį jis buvo ir Ukmergės  3-osios vidurinės mokyklos  muzikos mokytojas. Ukmergėje jis subūrė pučiamųjų instrumentų orkestrą, kartu su kitais entuziastais 1955 m. pastatė Jacko Offenbacho operetę "Perikola".

1956–1962 m. jis dirbo Ignalinoje: vadovavo kultūros namų pučiamųjų orkestrui, kultūros namų, rajkoopsąjungos ir mokytojų mišriesiems chorams. Kartu dėstė muziką Ignalinos 1-ojoje vidurinėje mokykloje, vadovavo vaikų ir vyresniųjų klasių moksleivių chorams, organizavo dainų šventes bei festivalius, rengė koncertus.

Nuo 1962 m. iki gyvenimo pabaigos Z. Leškevičius gyveno ir dirbo Švenčionėliuose (Švenčionių r.). Jis buvo Švenčionėlių 1-osios vidurinės mokyklos muzikos ir dainavimo mokytojas, vaikų ir vyresniųjų klasių moksleivių chorų bei vokalinių ansamblių vadovas. Jis taip pat suorganizavo mokytojų mišrųjį chorą, su kuriuo koncertavo savo ir kituose rajonuose, dainavo Latvijoje ir Baltarusijoje, dalyvavo dainų šventėse.

Z. Leškevičius buvo Ignalinos ir Švenčionių rajonų dainų švenčių organizatorius ir vyriausiasis dirigentas.

Buvo vedęs. Sūnūs: Valentinas Izidorius Leškevičius (1937–2017) – pedagogas matematikos mokytojas, vadovas, Liudas Leškevičius – pedagogas istorijos ir kūno kultūros mokytojas, Emanuelis Leškevičius – pedagogas geografijos mokytojas, ekologas, vadovas.

Mirė 1990 m. kovo 11 d. Švenčionėliuose (Švenčionių r.).

Z. Leškevičiaus biografija pateikta Boleslovo Zubricko enciklopediniame žinyne "Pasaulio lietuvių chorvedžiai" (1999 m.).