Tėvai: Zenonas Jusys (g. 1930 m.) – pedagogas, valstybės tarnautojas, vadovas, ir Vanda Pilipūnaitė-Jusienė (1930–2007) – medikė.

1961–1972 m. mokėsi Troškūnų (Anykščių r.) vidurinėje mokykloje. 1972–1977 m. studijavo Vilniaus universiteto Teisės fakultete, įgijo teisininko išsilavinimą.

1977–1978 m. O. Jusys dirbo Vilniaus universiteto Teisės fakultete asistentu.

1978–1981 m. jis tęsė studijas Maskvos (Rusija) M. Lomonosovo universiteto Teisės fakulteto aspirantūroje, 1981 m. ten apsigynė kandidatinę disertaciją "Tarybinių piliečių paveldėjimo teisių gynimas kapitalistinėse šalyse", 1993 m. nostrifikuotas socialinių mokslų, teisės daktaras.

1981–1985 m. O. Jusys buvo Vilniaus universiteto Teisės fakulteto vyresnysis dėstytojas, o 1986–1990 m. – docentas. 1985–1986 m. jis stažavosi Kolumbijos (Niujorkas, JAV) universiteto Teisės fakultete pagal IREX studentų mainų programą.

1990–1993 m. O. Jusys buvo Lietuvos Respublikos Užsienio reikalų ministerijos Teisės departamento direktorius, 1993–1994 m. – Lietuvos Respublikos užsienio reikalų ministro patarėjas, JAV teisinės firmos "McDermott, Will and Emery" Vilniaus filialo direktorius.

1994–2000 m. jis buvo nepaprastasis ir įgaliotasis ambasadorius, Lietuvos Respublikos nuolatinis atstovas Jungtinėse Tautose (Niujorkas, JAV), 2000–2001 m. – Užsienio reikalų viceministras. 2001–2005 m. O. Jusys buvo Lietuvos Respublikos nepaprastasis ir įgaliotasis ambasadorius, nuolatinis Lietuvos Respublikos atstovas Europos Sąjungoje Briuselyje.

2005–2009 m. jis buvo Lietuvos Respublikos Užsienio reikalų ministerijos sekretorius, nuo 2007 m. – ir darbo grupės bevizio režimo su JAV klausimams vadovas. 

2009–2012 m. O. Jusys buvo Lietuvos  Respublikos nepaprastasis ir įgaliotasis ambasadorius Jungtinėje Didžiosios Britanijos ir Šiaurės Airijos Karalystėje. 2011–2012 m. jis buvo ir Lietuvos Respublikos nepaprastasis ir įgaliotasis ambasadorius Omano Sultonatui Londone.

2013 m. jis dirbo specialiuoju pasiuntiniu Jungtinių Tautų Saugumo Tarybos kampanijoje.

2013–2017 m. O. Jusys buvo Lietuvos Respublikos Užsienio reikalų ministerijos Jungtinių Tautų, tarptautinių organizacijų ir žmogaus teisų departamento direktorius.

Nuo 2018 m. jis yra advokatų kontoros "Glimstedt" patarėjas.

O. Jusys apdovanotas ordino "Už nuopelnus Lietuvai" Komandoro kryžiumi (2003 m.), Lietuvos Respublikos užsienio reikalų ministerijos medalio "Už nuopelnus Lietuvos diplomatijai" aukso kryžiumi.

Laisvalaikiu mėgsta džiazą, sportuoja.

Vedęs, žmona Roma Jusienė. Sūnus Edvinas Jusys (g. 1983 m.).